Впрямоугольном треугольнике abc угол c равен 90*, ab=12 (корень из 2 внешний угол при вершине b равен 135*. найдите угол cab. ответ дайте в градусах.

...................................................... .............................

Из т. A опустим перпендикуляр на прямую DE (см. прикрепленный рисунок). Пусть AH - этот перпендикуляр, (длину которого и требуется найти в задаче). Тогда  AH⊥DE. Проведем отрезок  CH в плоскости CDE.
Т.к. по условию AC⊥CDE, то AH - наклонная, а AC - перпендикуляр (к плоскости CDE). И AH⊥DE (по построению), тогда по теореме обратной теореме "о трёх перпендикулярах", получаем, что DE⊥CH.
Таким образом CH - это высота прямоугольного равнобедренного треугольника CDE. Найдем CH. Для этого найдем DE по т. Пифагора:
DE² = CE² + CD² = (12√2)² + (12√2)² = 2*12² + 2*12² = 4*12²,
DE = √(4*12²) = 2*12.
Т.к. треугольник CDE - равнобедренный, то его высота CH является и медианой. Поэтому DH = EH = DE/2 = 2*12/2 = 12.
По т. Пифагора для ΔCDH.
CH² = CD² - DH² = (12√2)² - 12² = 2*12² - 12² = 12²,
CH = √(12²) = 12.
Т.к. AC⊥пл.CDE, то AC⊥CH, и ΔACH прямоугольный, ∠ACH = 90°.
По т. Пифагора для ΔACH:
AH² = CH² + AC² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369,
AH = √(1369) = 37.
ответ. 37 дм.

Внешний угол треугольника  при данной вершине — это угол,  смежный  с внутренним углом треугольника при этой вершине.при каждой вершине треугольника есть два внешних угла. чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. таким образом получаем 6 внешних углов. внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как  вертикальные):   дано: ∆авс, ∠1 — внешний угол при вершине с.

доказать: ∠1=∠а+∠в.  так как  сумма углов треугольника  равна 180º, ∠а+∠в+∠с=180º.следовательно, ∠с=180º-(∠а+∠в).  ∠1 и ∠с (∠асв) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠с=180º-(180º-(∠а+∠в))=180º-180º+(∠а+∠в)=∠а+∠в.