Доведіть, що чотирикутник klmn з вершинами в точках k(2; -2), l(1; 2), m(-3; 1), n(-2; - 3) є прямокутником.

Решение задания приложено

Посмотрите предложенный вариант:
В 4-угольнике стороны образуют прямые углы.
1. Тогда необходимо доказать, что |KL|⊥|LM|; |LM|⊥|MN|; |MN|⊥|KN|.
Для этого можно либо вычислить косинус угла между векторами, либо составить уравнения прямых, проходящих через эти пары точек. Решение вторым
2. Для нахождения уравнения прямой необходимо составить два линейных уравнения и решить их как систему. Решение показано во вложении.
3. Из полученных уравнений для прямых видно, что
а) KL || MN, LM || KN; (коэффициенты при Х равны)
b) KL⊥LM (⊥KN); LM⊥MN (⊥KL) (произведение коэффициентов при Х даёт (-1).

Через точки ABD можно провести плоскость, котораая будет пересекаться с плоскостью ABC по прямой АВ. Рассмотри треугольник ABD, в котором прямая, проходящая через середины отрезков будет являться средней линией треугольника, а, значит, будет параллельна основанию. Теперь, согласно утверждению, обратному данному: "Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой", можно сказать, что данная линия будет параллельна всей плоскости, что и требовалось д-ть.

Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости.
Существует теорема: через две пересекающиеся прямые проходит плоскость  и при том только одна.

Чтобы прямая принадлежала плоскости, нужно, чтобы две точки прямой принадлежали плоскости.
Аксиома: если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В нашем случае мы проводим прямую через точку пересечения двух прямых. Через одну точку. Эта точка принадлежит плоскости.
Все же остальные точки прямой могу плоскости не принадлежать.

Вывод: можно провести через точку пресечения двух прямых третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости. Причём таких прямых можно провести бесконечно много (см. рис.)