Окружность, вписанная в трапецию abcd, касается ее боковых сторон ab и cd в точках m и n соответственно. известно, что am = 8mb и dn = 2cn. докажите, что ad = 4bc. с рисунком.

а) Пусть окружность касается оснований BC и AD в точках K и L соответственно, а ее центр находится в точке O.

Лучи AO и BO являются биссектрисами углов BAD и ABC соответственно, поэтому <BAO+<ABO=(<BAD+<ABC)/2=90

Значит треугольник AOB прямоугольный. Аналогично, треугольник COD тоже прямоугольный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y

MO=√AM*MB=2√2x=NO=√CN*ND=3y

Отсюда у=2х

Следовательно

BK=BM=x

AL=AM=8x

CK=CN=2x

DL=DN=4x

BC=BK+KC=3x

AD=AL-LD=12x

ОтсюдаAD=4BC

Так как касательные к окружности из одной точки равны, то:
ВС=МВ+CN.
AD=8MB+2CN.
BC+AD=9MB+3CN.  AD=6MB+3BC-BC или
AD=8MB+2CN=6MB+2BC.
Треугольники АВО и СОD - прямоугольные (так как боковая сторона трапеции видна из центра вписанной в нее окружности под углом 90° - свойство).
Высоты ОМ и ОN (равные радиусу) равны.
По свойству высоты из прямого угла имеем:
ОМ=(2√2)*МВ;  ОN=√2*CN. Или
2МВ=СN. Тогда 6МВ=2МВ+4МВ=2МВ+2CN = 2ВС.
AD=6MB+2BC (доказано выше).
AD=2BC+2BC==4ВС, что и требовалось доказать.

Вообщем я немного упростила это решение

Пусть большее сечение лежит выше центра шара по оси Z , его радиус 12 и центр в точке (0;0;z0)

Тогда его уравнение будет x^2+y^2+z0^2=R^2

Здесь R радиус сферы. Так как радиус большего сечения 12(24pi/2pi), то уравнение большего круга

Будет 12^2+z0^2=R^2

Меньшее сечение x^2+y^2+(z0+7)^2==R^2; 25+z0^2+14z0+47=R^2

Вычитаю из первого второе , получу

119-17z0-49=0

-14z0=-70

Z0=5

Выходит большее сечение находится от центра шара по оси z на расстоянии 5, значит

R^2=5^2+12^2=169

R=13

S(cф)=4pi*13^2=676pi

Выходя из условия наш рисунок выглядит примерно так: (только он должен быть квадратный а не прямоугольный)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Все углы мы нашли с того что это квадрат + если 1 угол 90 градусов и при этом треугольник равнобедренный (мы вывели это из условия) то оставшиеся 2 будут равняться (180 - 90) / 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ну а раз все углы первого треугольника равняются 3 углам второго треугольника, и 3 стороны 1 треугольника равняются 3 сторонам второго треугольника то эти треугольники равны по 3 ПРТ (Признаку Равности Треугольников)