Точки e, f, m расположены соответственно на сторонах ав, вс, ас треугольника авс. известно, что ae= 1/3ab; bf= 1/6bc; am=2/5ac. найти: s efm / s abc

Интересная задачка!

Sa (площадь треугольника AEM) составит (1/3)*(2/5) от площади всего треугольника ABC или 2S/15 так как его высота составляет всего треть от треугольника ABC, а основание 2/5 от основания ABC.

Аналогично Sb (площадь треугольника BEF) составит (2/3)*(1/6) от площади всего треугольника ABC или S/9

Аналогично Sс (площадь треугольника CMF) составит (5/6)*(3/5) от площади всего треугольника ABC или S/2

В сумме Sa+Sb+Sc = S*(2/15+1/2+1/9), следовательно площадь треугольника EFM или So = S - (Sa+Sb+Sc) = S(1 - (2/15+1/2+1/9)) = S(1 - 67/90) = 23S/90 

Искомое соотношение площадей: 23/90, если ничего не напутал

Найти |MN|, если М(-5;6);N(2;4), по выражению  |MN| = корень из((х2-х1)^2 + (y2 - y1)^2) = кор.(2-(-5))^2 + (4-6)^2) = V(7^2 + 2^2) = V53.
Уравнение прямой через MN в виде кх + в находим в два этапа:
на 1 - находим коэффициент, характеризующий угол наклона прямой: к = Δу / Δх =  (y2 - y1) / (х2-х1) = -2/7.
 на 2 – определяем точку пересечения прямой оси у: она выше точки N на величину Δ, которую находим из пропорции  2/7 = Δ/2    Δ = 4/7. Значение в = 4+4/7 = 32/7. Уравнение прямой у = -2/7х + 32/7.
Уравнение окружности имеет вид  r^2 = (x-xo)^2 + (y-yo)^2.
Для окружности, если r=MN, с центром в точке N  (x-2)^2 + (у-4)^2 = 53,
с центром в точке M  (x+5)^2 + (y-6)^2 = 53.

     В

А   О    С

     Д

Дано: АВСД - параллелограмм, диагонали пересекаются в т.О и являются биссектрисами его углов, уголВСО=60градусов, Р=60см.
Найти АС.

1) уголСАД=углуАСВ т.к. накрест лежащие при ВС II АД и секущей АС.
2) уголСАВ=углуСАД (по условию) => треугольникАВС - равнобедренный (уголСАВ=углуАСВ) => АВ=ВС
3) т.к. АВСД - параллелограмм => АВ=СД, ВС=АД => АВ=ВС=СД=АД => АВСД - ромб.
4) Рассмотрим треугольникВОС:
уголВСО=60градусов, уголВОС=90градусов (т.к. диагонали ромба взаимно перпендикулярны) => уголОВС=90-60=30градусов.
5) уголАВС=30*2=60градусов (т.к. ВД - биссектриса)
уголВАС=углуВСА=60градусов (по св-ву ромба)
следовательно, треугольник АВС - равносторонний.

АВ=ВС=АС=60:4=15см

ответ: АС=15см