Прямая ap перпендикулярна плоскости, в которой расположен треугольник abc.расстояние от точки p до прямой bc=10 см.найдите расстояние от точки p до плоскости abc, если bc=7 см, а площадь треугольника abc=21 см^2.

ΔАВC ,  ВС=7,  S(ABC)=21 , РА⊥ пл. ΔАВС
Проведём высоту треугольника АН на ВС и вычислим её.
S(АВС)=1/2·АН·ВС=1/2·АН·7=21  ⇒  АН=21·2/7=6
Проведём РН. Так как АН - проекция РН на плоскость ΔАВС и  АН⊥ВС, то по теореме о трёх перпендикулярах РН⊥ВС. Значит расстояние от т. Р до ВС - это есть РН=10 ( по условию).
Рассм. ΔРАН: РА⊥АН, так как РН⊥пл. АВС, а АН∈АВС  ⇒   ∠РАН=90°.
По теореме Пифагора:  РА=√(РН²-АН²)=√(100-36)=8 .
Расстояние от т. Р до пл. АВС равно  РА=8 .

Если высота СН прямоуг. ΔАВС равна 12 см ,то гипотенуза АВ не может равняться 20 см.

По свойству высоты, проведённой из прямого угла прямоуг. треуг-ка на гипотенузу, она есть среднее пропорциональное (среднее геометрическое) между проекциями катетов на гипотенузу, то есть CH²=AH·BH .

Если гипотенуза АВ=20 см, то АВ=АН+ВН=20 см .

Обозначим АH=х , тогда ВН=(20-х) см.

Уравнение не имеет действительных корней, значит не существует треугольника с гипотенузой 20 см и высотой, проведённой из вершины прямого угла , равной 12 см.

Если провести в прямоугольном треугольнике АВС, где угол В равен 90°, высоту ВН, то эта высота делит гипотенузу на отрезки АН и НС :

Высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза высотой.

ВН² = АН × НС

Пусть АН = х , тогда НС = 20 - х =>

12² = х × ( 20 - х )

144 = 20х - х²

х² - 20х + 144 = 0

D = ( - 20 )² - 4 × 1 × 144 = 400 - 576 = - 176 , D < 0

Корней нет

Значит, гипотенуза прямоугольного треугольника не может быть равна 20 см при высоте 12 см

ОТВЕТ: не может.