Высоты треугольника abc пересекаются в точке o , причём угол aob =boc =110 градусов. а) докажите, что треугольник abc равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) найдите углы данного треугольника. !

а) Треугольник АВС равнобедренный с боковыми сторонами АВ=ВС. б) В треугольнике АВС:  ∠А = ∠С = 70°, ∠В = 40°.

Объяснение:

Пусть АК, ВН и СР - высоты треугольника АВС.

Угол ВОК - смежный с углом АОВ и равен 180° -110° =70°по сумме смежных углов. Аналогично, ∠ВОР= 70°, как смежный с ∠ВОС. => Прямоугольные треугольники ВОP и ВОК равны по гипотенузе и острому углу (третий признак). Из равенства этих треугольников:  

∠ОВР=∠ОВК = 20° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника 90° - 70° =20°) .

Следовательно, высота ВН треугольника АВС является и биссектрисой  => треугольник АВС равнобедренный с основанием АС и боковыми сторонами АВ=ВС. Что и требовалось доказать.

∠АВС = ∠ОВР + ∠ОВК = 40°.

∠ВАС = ∠ВСА = (180 - 40)/2 =70° (как равные углы при основании равнобедренного треугольника.

1. Расстояние от точки К до прямой МР будет являться перпендикуляр КО, опущенный из вершины К на сторону МР. Тогда в прямоугольном треугольнике РОК сторона КР=2КО (по условию). В прямоугольном треугольнике РОК катет КО равный половине гипотенузы КР лежит против угла КРМ равного 30 градусов.

2. Расстоянием от прямой b до стороны КР будет являться перпендикуляр МН, опущенный из вершины М к стороне КР. Тогда в прямоугольном треугольнике РМН против угла НРМ (это тот же угол КРМ)  равного 30 градусов лежит катет МН равный половине гипотенузы МР. МН=16/2=8

Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным в зависимости от данных в условии задачи.

 Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

  

или, в другой записи,

  

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

  

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

  

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

  

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

  

  

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a  и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

  

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности: