Впрямоугольном треугольнике abc (∠c=90∘) медианы ad и cm перпендикулярны друг другу. найти гипотенузу ab, если третья медиана bk равна 3√5.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
обозначим точку пересечения медиан М
тогда, МК = √5 (ВМ = 2√5) 
треугольник СМА -прямоугольный по условию, МК в нем -медиана.
медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы !! 
СА -гипотенуза треугольника СМА, СА = 2√5 ; СК = АК = √5 
треугольник ВСК -прямоугольный, по т.Пифагора:
ВС² = ВК² - СК² 
ВС² = (ВК-СК)(ВК+СК) = (3√5 - √5)(3√5 + √5) = 2√5 * 4√5 = 5*8 = 40 
ВА² = ВС² + СА² = 40 + (2√5)² = 40+20 = 60
ВА = √60 = 2√15

Внешний угол является смежным в внутренним углом тругольника, а сумма смежных углов =180 , то найдем соответсвующий ему внутренний: 180-40 = 140. Этот угол явлеятся углом при вершине, т.к . в треугольнике не может быть большо одного тупого угла. Следовательно найдем углы при основании. Тут есть два т.к. сумма углов труегольника = 180, а углы при основании равнобедренного треугольника равны). Либо второй т.к. внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним углов, а углв при основаннии равнобедренного равны).

ответ: 20 градусов.

Пусть О точка пересечения медиан AM, BN, CK
и пусть AO = k*AM (если докажем, что k =2/3, то это и будет означать, что AO = 2 OM)
поскольку для каждой медианы те же рассуждения можно провести, то соотношение везде одинаково. (кроме того, OM = (1-k)AM, OK = (1-k)CK)

Запишем равенство векторов: AO+OK= AK = (AB)/2

kAM +(1-k)CK = AB/2

но AM = (AB+AC)/2, а CK = (CA+CB)/2

подставим:
k*AB/2 + k*AC/2 +(1-k)*CA/2 + (1-k)CB/2= AB/2 (умножим равенство на 2 и раскроем скобки)

kAB + kAC +CA - kCA +CB -kCB = AB
воспользуемся тем, что CB = AB-AC
kAB + kAC + CA -kCA +AB-AC -kAB +kAC = AB

AB сократится, останется
kAC + CA -kCA-AC +kAC = 0. AC ненулевой вектор, значит коэффициент должен равняться 0
(заменим CA на (-AC)), получим

3kAC -2 AC = 0

то есть, 3k =2, k =2/3