Трапеция aefp (ef|| ap) расположена в квадрате abcd со стороной 3 так, что точки e, f и p лежат на сторонах ab, bc и cd соответственно. диагонали af и pe трапеции перпендикулярны друг другу, bf =1. найти периметр трапеции.

Пусть точка А - начало координат, АД - по оси Ох.
Так как диагонали перпендикулярны, то разность координат в 1 единицу у ЕР будет по оси Оу.
Примем ВЕ = к, а ДП - 3к по подобию.
Тогда сторона квадрата 3 = к + 1 + 3к,
Отсюда 4к = 2, а к = 4/2 = 0,5.
Находим длины сторон трапеции.
АЕ = 3-0,5 = 2,5.
EF = √((1/4)+1) = (1/2)√5.
FP = √(4+(9/4) =5/2 = 2,5.
AP = √(9+(9/4) = √(45/4) = (3/2)√5.
Периметр Р трапеции равен:
Р = 2*2,5+(1/2)√5+(3/2)√5 = 5+2√5.

Решение в приложении.

Теория - основа для решения  задач. 
Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис. 
Знаете также и то, что
центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон.  
В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете.
 О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать. 
Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи. 
Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности. 
В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы -  и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе). 
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника  окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника. 
Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него.
R=2r= 5*2=10 cм
 См. рисунок в качестве иллюстрации.  

Теория - основа для решения  задач. 
Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис. 
Знаете также и то, что
центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон.  
В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете.
 О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать. 
Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи. 
Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности. 
В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы -  и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе). 
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника  окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника. 
Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него.
R=2r= 5*2=10 cм
 См. рисунок в качестве иллюстрации.