Один угол треугольника равен 80 градусов , а один из двух оставшихся углов в четыре раза , больше другого.найти углы треугольника

'сумма трех углов внутри треугольника всегда равна 180. Пишем уравнение 180-(80+х+4х)=180-80-5х=100-5х
100-5х=0
5х=100
х=20
1 угол 80
2 угол 20
3 угол 100

1) Решение:
Т.к. ABC - равнобедренный => AC=BC
Значит, 
AB²=AC²+BC² => AB²=2a²
4=2a²
2=a², => a=√2

ответ: S=1 см²
2) Решение:
a=5 cm, b=17 cm, c=20cm, d=16 cm

ответ: S=176 cm²
3) AC и BC - катеты, AB - гипотенуза.
AC=9 см, BC=40 см, AB=41 см.
Доказать, что AC²+BC²=AB²
Решение:
9²+40²=41²
ответ: 1681=1681

4) один из углов 45, значит второй тоже 45, а значит этот треугольник равнобедренный(т.к. углы при основании равны.)Значит боковые стороны у него равны, а то есть катеты.катет можно обозначить за x.значит второй тоже x.По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) составляем уравнение


x=3  x=-3(не удов. усл. зад.)катеты будут равны 3 см.S треугольника= половина основания на высоту, т.е. 1/2 катет на катет, в нашем случае 



ответ: 

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найти площадь поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.
Сделаем рисунок.
Основание высоты правильной треугольной пирамиды - точка пересечения высот основания, или. иначе, центр вписанной в правильный треугольник окружности. Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей ее основания и трех боковых граней. Площадь основания правильного треугольника находят по формуле
S=(a²√3):4
Боковые грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.
Площадь боковой грани - половина произведение ее высоты на сторону основания.
S грани=аh:2
Двугранный угол при стороне основания  равен линейному углу между апофемой МН   и высотой АН основания. 
АВ=ВС=АС=АН:sin (60º)=6:[(√3):2]=4√3
S осн=(4√3)²√3):4=(16*3*√3):4=12√3 см²
Апофема МН, как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника МОН, равна ОН√2
ОН=АН:3=2 см
МН=2√2
Sбок= 3*МН*ВС:2=(3*2√2)*4√3):2
Sбок=12√6
S полн=S осн+Sбок=12√3 см²+12√6=12√3(1+√2)=≈50,178 см²
Вернемся к рисунку. 
Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани -перпендикуляр от вершины, проведенный к плоскости боковой грани.
Ясно, что расстояния от любой вершины осноания до противоположной ей грани равны. Найдем расстояние от вершины В до плоскости грани АМС.
ЕМ - высота треугольника АМС. 
Искомым расстоянием будет перпендикуляр ВК к проекции высоты ВЕ основания на плоскость АМС, т.е. к прямой ЕМ. 
Так как двугранный угол у основания равен 45º, то треугольник ЕКВ -  прямоугольный и равнобедренный.
Искомое расстояние
КВ=ВЕ*sin(45º )=6√2):2=3√2 см