Дана замкнутая ломаная abc.точки m, k, n-середины её звеньев ab, bc, ac.точки p, e, g-середины отрезков mb, kc, an.найдите длину ломаной abc, если ap+be+cg=108см

М - середина АВ, значит МВ = АВ/2
Р - середина МВ, значит РВ = МВ/2 = АВ/4, тогда
АР = 3/4 АВ

К - середина ВС, значит КС = ВС/2
Е - середина КС, значит ЕС = КС/2 = ВС/4, тогда
ВЕ = 3/4 ВС

N - середина АС, значит NA = АС/2
G - середина NA, значит GA = NA/2 = AC/4, тогда
CG = 3/4 AC

По условию
AP + BE + CG = 108
3/4 АВ + 3/4 ВС + 3/4 АС = 108
3/4 · (АВ + ВС + АС) = 108
АВ + ВС + АС = 108 · 4/3 = 144 (см)

СМ : МК : КА = 2 : 3 : 2, т.е. СМ - две одинаковые части, МК - три такие же части, а КА - 2 части. Тогда

СМ : СК : СА = 2 : 5 : 7

Если прямая параллельна стороне треугольника, то она отсекает треугольник, подобный данному, значит

ΔМСТ  подобен ΔАСВ и коэффициент подобия равен:

k₁ = CM : CA = 2 : 7

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Smct : Sabc = 4 : 49

Smct = 4 · 98 / 49 = 8 см²

ΔКСР подобен ΔАСВ,

k₂ = CK : CA = 5 : 7

Skcp : Sacb = 25 : 49

Skcp = 25 · 98 / 49 = 50 см²

Skmtp = Skcp - Smct = 50 - 8 = 42 см²

Sakpb = Sacb - Skcp = 98 - 50 = 48 см²

Проведем высоту BH
S=(AD+BC)* 1/2*ВH.
Рассмотрим треугольник АВН.
угол А=60 АВ=16, угол ВНА=90. Значит треугольник АВН-прямоугольный
угол А+угол АВН=90 градусов( свойство острых углов прямоугльного треугольника)
угол АВН=90-60=30 градусов
АН=1/2АВ(Свойство катета лежавшего напротив угла в 30 градусов)
АН=8
Проведем высоту СN
(Там все точно такое же как и в первом треугольнике )
DN=8
Найдем НN
HN=AD-(BH+HN)
HN=4
Рассмотрим прямоугольник HBCN
HN=BC=4
Найдем высоту BH
AB=BH+AH каждая сторона в квадрате(теорема Пифагора)
BH=AB-AH( каждая сторона в квадрате
BH=256-64=192
BH= корень из92=8кореньиз 3
S=(20+4)*1/28* 8 корень из 3=96кореньиз 3