Площадь паралеллограма равна 7 см^2, его смежные стороны равны 4 см и 7 см. найдите его высоту и острый угол.

Высота  параллелограмма это перпендикуляр, проведенный из вершины угла к противоположной стороне (или ее продолжению).
Следовательно, в параллелограмме две высоты.
AB=4см, AD=7см, S=AB*AD*SinA.SinA=7/(4*7)=1/4.<A=arcsin(1/4). Это ответ.SinA=BH/AB или SinA=DE/AD.ВН -  высота, проведенная к стороне AD.DE - высота, проведенная к стороне AВ.ВН=АВ*SinA=4*(1/4)=1см.DE=AD*SinA=7*(1/4)=1,75см.ответ <A=arcsin(0,25) BH=1см, DE=1,75см.

Если провести высоту через центр вписанной окружности, и радиусы в точки касания, то очевидно
h = 2*R;
m/(2*R) = sin(α); α - угол при большем основании,  трапеции.
Второе соотношение только кажется неочевидным - угол, под которым видна половина заданной хорды из центра окружности, составляет 180° вместе с углом трапеции при меньшем основании, то есть равен углу при большем основании трапеции.
Кроме того, в описанной равнобедренной трапеции боковая сторона  равна полусумме оснований c = (a + b)/2, поэтому  S = c*h;
Получилось
m/h = h/c; c = S/h; или (2*R)^3 = m*S; R^3 = m*S/8;
Отсюда легко найти R, а потом и площадь круга.
Если подставить числовые значения, то R = 5; площадь круга 25π

1. шар вписан в цилиндр. осевое сечение цилиндра+вписанного шара - окружность, вписанная в квадрат.
диаметр вписанного шара D₁=высоте цилиндра Н=диаметру основания цилиндра=стороне квадрата(осевого сечения)

Vш=(4/3)πR³. 36π=(4/3)πR³. R³=27. R₁=3 дм
а=2*R₁. a=6 дм

2. шар описан около цилиндра. осевое сечение цилиндр+описанный шар - окружность, описанная около квадрата.
диаметр описанной около квадрата окружности D₂= диагонали квадрата d.
d²=a²+a². d²=2a². d=a√2
D₂=6√2. R₂=3√2
V₂=(4/3)πR₂³
V₂=(4/3)*π*(3√2)³
V₂=144√2π дм³ объем шара, описанного около цилиндра.