Найдите углы а, в и с выпуклого четырехугольника авсd, если угол а= угол в= углу с, а угол d= 135'

Сумма внутренних углов выпуклого четырехугольника равна 360°.
Сумма трех равных его углов равна 360°-135°=225°.
Тогда каждый из этих углов равен 225°:3=75°.
ответ: углы А, В и С равны по 75°.

Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной.
По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN.
Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6,
4²=x(х+6),
х²+6х-4=0,
х1=-8, отрицательное значение не подходит,
х2=2.
ON=2+6=8 дм - это ответ.

Теперь докажем, что отрезок  MN виден из точки К под большим углом.
Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r.
На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r.
Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды.
∠MKN=α, ∠MPN=β.
Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды.
MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R.
MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r.
Сравним синусы, предположив, что они равны.
MN/2R=MN/2r.
1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα.
Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°.
В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера,
значит α>β.
Доказано.

1) Эту задачу можно решить двумя

1 - геометрическим,

2 - координатным.

1. АВ = √(8² + 10² - 2*8*10*cos(180-2*30)) = √(64 + 100 + 80) = √244 = 2√61.

Далее используем формулу определения длины медианы L.

L = (1/2)*√(2*8² + 2*10² - 244) = (1/2)√84 = √21.

2. Находим координаты точек А и В с учётом длины отрезков и углов.

А = (10*cos30; 10*sin30) = (5√3; 5).

B = (8*cos(-30); 8*sin(-30)) = (-4√3; 4).

Находим основание М медианы как середину АВ : М = (0,5√3; 4,5).

Вектор ОМ равен (0,5√3; 4,5).

Его длина - это длина медианы: |OM| = √((0,5√3)² + 4,5²) =√21.

2) Даны вершины треугольника А(3; 5), В(1; 3), С(4;4).

Расчет длин сторон    

АВ (с) = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √8 ≈  2,828427125.

BC (а)= √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √10 ≈  3,16227766.

AC (в) = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √2 ≈  1,414213562.

Периметр равен √8 +√10 +√2 ≈ 7,40492 .