На прямой отложены отрезки ab=10 см , bc=5см. найдите ac, если a)точка b лежит между точками a и c ; б) точка c лежит между точками a и b?

ответ: 15 см и 5 см

Объяснение (см. рисунок приложения):

Если:

а) точка B лежит между точками A и C:

АС=АВ+ВС=10+5=15 см 

б) точка C лежит между точками A и B:

АС=АВ-ВС=10-5=5 см

Из ΔAMB  по теореме косинусов :
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB     (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому 
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB   (2)  ;
 суммируем  (1) и  (2) получаем 
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но  BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA  поэтому :
4AM²  =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA. 

* * * 
Можно продолжать медиана  MD =AM   и  M соединить с вершинами 
B и C. Получится параллелограмм  ABDC , где верно
 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².

Для медианы CN :  4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то  4CN² =4AM²   или  CN =AM .

Из ΔAMB  по теореме косинусов :
AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB     (1) ;
Из ΔAMC :
AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ;
но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому 
AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB   (2)  ;
 суммируем  (1) и  (2) получаем 
AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ;
но  BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA  поэтому :
4AM²  =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA. 

* * * 
Можно продолжать медиана  MD =AM   и  M соединить с вершинами 
B и C. Получится параллелограмм  ABDC , где верно
 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².

Для медианы CN :  4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то  4CN² =4AM²   или  CN =AM .