Знайти синус і косинус кута аок в одиничному колі, якщо а(0; 1), о(0; 0), к(1; 0)​

Расстояния точек касания хорды АВ равноудалены от центра окружности О на расстояние = радиусу R. 
Проведи прямую ОС, соединяющую центр окружности О и точку касания.С Эта прямая перпендикулярна и хорде АВ и касательной и т.к. они параллельны, и проходит через середину АВ. Значит, эта прямая ОС является высотой для треугольников АСВ и АОВ. Точка С, лежащая на перпендикуляре СО, проведенная к отрезку АВ через его середину, равноудалена от концов этого отрезка, значит и АС=СВ, т.е треугольник АСВ - равнобедренный.

Надеюсь то, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания, доказывать не нужно?

 

Если да, то остается только доказать, что радиус, делящий хорду пополам перпендикулярен этой хорде.(ведь если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой)

 

А это доказывается легко:

1) Назовем К точку пересечения ОМ и АВ. По условию АК = КВ

2) проведем радиусы к концам хорды (к точкам А и В)

 

рассмотрим треугольники ОКА и ОКВ

у них

- сторона ОК общая

- стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности  и между собой

- стороны АК и КВ равны

 

Значит, треугольники эти (по трем сторонам) равны.

Следовательно, углы ОКА и ОАВ - равные. А раз угол АКВ равен 180 градусов, то ОКА=ОКВ=180/2 = 90 градусов.

 

Итак, АВ перпендикулярна ОМ.

Касательная, проходящая через М  тоже перпендикулярна ОМ

Следовательно АВ параллельна касательной.

 

 

В чем и хотелось убедиться вечно сомневающемуся автору задачи.))

 

 

Ура!))