Наклонная ав образует с плоскостью угол 60°. найдите длину наклонной, если её проекция на плоскость равна √6 см

A 

C             B
AB - наклонная, BC - проекция, BC = √6 см,  < ABC = 60°,  AB = ?
Из прямоугольного треугольника ABC :
Сos<ABC = BC / AB,  отсюда AB = BC / Cos60° = √6 / (1/2) = 2√6 см

В треугольнике АСЕ АС - диагональ квадрата в основании, и

АС^2 = 2; (длина ребра куба принята за 1)

АЕ = СЕ,

и

АЕ^2 = AD^2 + DE^2 = 1 + (1/3)^2 = 10/9;

Если обозначить косинус угла АЕС (который и надо найти) за  х, то

по теореме косинусов для треугольника АЕС

АС^2 = AE^2 + CE^2 - 2*AE*CE*x = 2*AE^2*(1 - x);

2 = 2*(10/9)*(1 - x);

x = 1/9;

 

Я добавлю глубокомысленное замечание. 

Обратите внимание на технику решения - я не записал по ходу ни одного корня. Это, конечно, мелочь, но именно в таких мелочах и путаются обычно.

Высоту этой фигуры можно найти из прямоугольного треугольника, образованного длинной диагональю основания, большей диагональю параллелепипеда и высотой. 

Длинную диагональ основания можно найти по теореме косинусов. Знаем длину двух сторон треугольника, образованного сторонами основания, а угол между ними равен 

180-60=120°

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a2 = 32 + 52 - 2bc·Cos(120)

a²=34-30·(-0,5)=49

a=7

Теперь очередь дошла до высоты параллелограмма. 

h²=25²-7²=574

h=24 cм