20 ! в четырёхугольнике авсд углы а и с прямые. из точек б и д опустили перпендикуляры на диагональ ас и получили соответсвенно точки м и н . докажите, что ам=сн

ABCD - вписанный четырехугольник, т.к. сумма противоположных углов A и C равна 180°. BD - диаметр, т.к. на него опирается вписанный прямой угол A. Продлим перпендикуляры BM и DH до пересечения с окружностью в точках E и F. Углы E и F - прямые, т.к. опираются на диаметр BD. FBMH и DEMH - прямоугольники, т.к. имеют три прямых угла. FH=BM, DH=EM как противоположные стороны прямоугольников. Для пересекающихся хорд BE, AC и DF, AC выполняются равенства:

BM*EM=AM*CM
DH*FH=AH*CH

BM*EM=DH*FH => AM*CM=AH*CH

AM*CM=AH*CH <=>
(AH+HM)*CM = AH*(CM+HM) <=>
AH*CM +HM*CM = AH*CM +AH*HM <=>
CM=AH <=> AM=CH

Построение сводится к проведению перпендикуляра из  точки к прямой. 

Из вершины А, как из центра,  раствором циркуля, равным АС, делаем насечку на стороне ВС. Обозначим  эту точку К.

∆ КАС- равнобедренный с равными сторонами АК=АС.

Разделив КС пополам, получим точку М, в которой медиана ∆ КАС пересекается с основанием КС. Т.к. в равнобедренном треугольнике медиана=биссектриса=высота, отрезок АМ будет искомой высотой. 

Для этого из точек К и С, как из центра,  одним и тем же раствором циркуля ( больше половины КС) проведем две полуокружности. Соединим точки их пересечения с А. 

Отрезок АМ разделил КС пополам и является  искомой высотой ∆ АВС из вершины угла А. 

>>> идёт оформление рисунка <<< ожидайте ...

Задача решается через векторы.
Построим вектор ;

Середина D отрезка AB может быть найдена откладыванием половины вектора от точки A

;

Итак D( -9+4, 10-3 ) = D( -5, 7 ) ;

От точки D нужно отложить вектор высоты в обе возможные стороны

Вектор высоты перпендикулярен вектору основания , а значит его проекции накрест-пропорциональны с противоположным знаком:

(I) , что непосредственно следует из скалярного произведения, поскольку для перпендикулярных векторов должно выполняться: (II) ;

Таким образом вектор пропорционален вектору , поскольку для вектора выполняется и равенство (I) и равенство (II) осталось лишь найти масштаб вектора ;

Вектор имеет длину ;

Аналогично, AB = 10

При этом, поскольу треугольник равносторонний, то значит его высота составляет , т.к ;

Значит , а стало быть ;

В итоге .

Откладываем этот вектор в разные стороны (+\-) от точки D( -5, 7 ) и получаем:

ОТВЕТ:

/// примечание: ;

/// примечание: .