Точки к, l, м и n — середины сторон соответственно ав, вс, cd и ad паралелограмма abcd. докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых al, вм, cn и dk — параллелограмм.

Из определения параллелограмма следует, что  BC || AD,  поэтому  LC || AN.  Кроме того,  LC = ½ BC = ½ AD = AN.  Значит противоположные стороны LC и AN четырёхугольника ANCL равны и параллельны => это параллелограмм. Поэтому  AL || CN.  Аналогично  BM || DK.  Мы доказали, что противоположные стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK попарно параллельны => это параллелограмм.

От противоположного. Пусть это не так. Проведем через точку M 2 прямые они зададут некую плоскость, параллельную a. Действительно, каждая из этих прямых параллельна a, то есть любой прямой в a. Поэтому мы можем найти пару пересекающихся прямых, параллельных нашим двум, по признаку параллельности плоскостей, наша плоскость параллельна a. По условию она параллельна плоскости a, т. е. ее не пересекает. С другой стороны, она не лежит в нашей плоскости, т. е. пересекает и ее и a. Противоречие.

Мы недавно проходили

Проведем через точку В прямую параллельно отрезку AB, затем продолжим отрезок AN до пересечения  с этой прямой и поставим там точку К:

Задача на подобие и теорема Менелая. Задание 16

Рассмотрим треугольники ANC и BNK. Эти треугольники подобны, так как AC||BK. Стороны треугольника BNK относятся к сторонам треугольника ANC как 2:1.

Задача на подобие и теорема Менелая. Задание 16

Пусть AC=x, BK=2x.

Теперь продолжим отрезок MC до пересечения с прямой BK. Поставим там точку L.

Задача на подобие и теорема Менелая. Задание 16

Мы получили подобные треугольники LMB и AMC, сходственные стороны которых относятся как 3:2. Так как AC=x, то LB=1,5x.

Пусть LM=3n, MC=2n. Тогда LC=5n.

Теперь рассмотрим подобные треугольники LOK и AOC.

Задача на подобие и теорема Менелая. Задание 16

{LK}/{AC}={3,5x}/{x}={3,5}/1, следовательно, {LO}/{OC}={3,5}/1. Пусть LO=3,5z, OC=z. Тогда LO+OC=LC=4,5z.

Получили, что 5n=4,5z. Тогда MC=2n=9/5z. Отсюда MO=MC-CO=9/5z-z=4/5z

Отсюда CO:OM=z:4/5z=5:4=1,25.

ответ: 1,25