Найдите площадь прямоугольника , если его длина равна 12 , а диагональ 13

По правилу Пифагора находим ширину прямоугольника:169-144=25, квадрат из 25=5. Значит, его площадь:12x5=60-это и есть ответ.

1) В треугольнике ABC AC=BC, АB=15, АН- высота; BH=3. Найдите cos А 

АС=ВС, ⇒ ∆ АВС - равнобедренный и  ∠А=∠В, значит, cos A=cos B

cos B=HB:AB=3/15=0,2

2) В треугольнике ABC AB=BC, AC=4, высота CH равна 1. Найдите синус угла ACB 

∆ АВС - равнобедренный. ⇒∠А=∠С, и синус ∠АСВ=синусу ∠СAВ

sin ∠CAB=CH:AC=1/4=0,25

3) В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, AC=10, CH-высота, AH=6. Найдите sin ACB

Т.к. ∆ АВС равнобедренный, углы при основании АС равны, следовательно, равны их синусы. 

sinBAC=CH:AC

По т.Пифагора СН=√(AC²-AH²)=√(100-36)=8

sinBAC=8/10=0,8 ⇒sin ACB=0,8

(Замечу, что задача не совсем корректна. Т.к. треугольник тупоугольный, высота из острого угла - вне треугольника. И СН не может быть больше наклонной ВС, тем более не может быть больше АВ+ВН, если АВ=ВС. Возможно, нужно было длину АН обозначить равной 8 или АС=ВС)

 4) В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов , AB=корень из 34, BC=3. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A 

Внешний угол при вершине А - смежный внутреннему углу при той же вершине. Тангенсы  смежных углов равны по величине, но имеют противоположные знаки. 

tg CAB=BC:AC

АС по т.Пифагора =√(АВ-CB)=√(34-9)=5

CAB=3/5=0,6⇒ тангенс внешнего угла при вершине А= -0,6

Сумма острых углов A и C равна 90°.

Объяснение:

В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 8, перпендикулярна основаниям AD=4 и BC=16. Найди сумму острых углов A и C.

Прямоугольные треугольники ABD и DBC подобны по второму признаку: если катеты одного пропорциональны катетам другого.

В нашем случае AD/DB = DB/BC = 1/2.

В подобных треугольниках соответственные углы равны. =>

∠BCD = ∠ABD.

В прямоугольном треугольнике ABD сумма острых углов равна 90°, то есть

∠ВАD + ∠ABD = 90°  =>

∠ВАD + ∠ВСD = 90°.

ответ: сумма острых углов A и C равна 90°.

Для любителей тригонометрии можно найти тангенсы этих углов:  

tgA = BD/AD = 8/4 = 2

tgC = BD/BC = 8/16 = 1/2.

По формуле tg(α + β) = (tgα+tgβ)/(1-tgα·tgβ) = (2+1/2)/0.

Это значит, что (α + β) = 90°.

Или так:

По Пифагору АВ = √(AD²+BD²) = 4√5.

СD = √(ВС²+BD²) = 8√5.

Sinα = AD/AB = 2√5/5. => Cosβ = 2√5/5

Sinβ = BD/CD = √5/5.  => Cosα = √5/5  

По формуле Sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β) =>

Sin(α + β) = (2√5/5)·(2√5/5) + (√5/5)·(√5/5) = 4/5+1/5 = 1.

Это значит, что (α + β) = 90°.