ABCD-ромб AB=BD. Найдите x+y=?

Відповідь:1) Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам,

   АO = OD

  Треугольник АОD - равнобедренный,

  Угол ОАD тоже равен 20°.

  Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому угол AOD  

 равен 180°-20°-20°=140°

2) Угол AOD  и угол у - смежные. Их сумма 180°

 угол у равен 180⁴-140°=40°

3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника ВАD равна 90°

Угол х равен 90°-20°=70°

Пояснення:

 Основания трапеции параллельны. 

Её диагонали - секущие. 

 Накрестлежащие углы при их пересечении с основаниями равны. Треугольники, которые образуются при пересечении диагоналей, подобны по 3-м углам. 

 Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению оснований трапеции. 

k=4/8=1/2

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.  

Точка пересечения диагоналей делит высоту трапеции на части, являющиеся высотами треугольников. 

Обозначим высоту меньшего треугольника h, высоту большего - Н. 

 Тогда h/H=1/2. 

 Высота трапеции содержит 1+2 =3 части. 

Каждая часть=9:3=3 см

 Поэтому h=3 см 

Н=2•3=6 см. 

Расстояния от точки пересечения диагоналей до оснований трапеции равны 3 см и 6 см. 

*****************

Задача 2. 

Наложим данные треугольники друг на друга так, чтобы стороны их равных углов совпали. Пусть общая вершина будет В, а сами треугольники – АВС и КВМ. 

Так как оба  треугольника равнобедренные и имеют равные  углы при вершине, их углы при основаниях КМ и АС тоже равны ( свойство).  

∆ КВМ~∆ АВС. k= ВС/ ВМ=15:5=3 

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, делит его пополам. 

КО=ОМ, и АН=НС.

КО=3 ( ∆ КВО - египетский,  проверьте по т.Пифагора.) 

Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

АН:КО=3. 

АН=3•3=9

АС=9•2=18 см

Р ∆ АВС=2•ВС+АС=30+18=48 см

Пусть этот параллелограмм АВСД. 
СМ и ДМ - биссектрисы. 
АМ||СД, СМ - секущая. 
Накрестлежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Угол ВМС=углу МСД. 
Но так как  СМ биссектриса и угол МСД=ВСМ, то все эти три угла равны. Из равенства углов при основании СМ треугольника МВС следует. что этот треугольник - равнобедренный. МВ=Вс=26. 
Точно также доказывается равенство сторон АМ и АД треугольника АМД. 
Следовательно, большая сторона АВ=СД=АМ+МВ=26+26=52. 
--------
Замечу, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник  ( иногда сюда входят продолжения сторон). Это свойство биссектрисы  пригодится при решении многих задач.