Впрямоугольном параллелепипеде авсdа1в1с1d1 грань авсd –квадрат со стороной 1. боковое ребро аа1 вдвое больше ребра ав. через диагональ в1d и каждую точку ребра аа1 проводятся всевозможные сечения этого параллелепипеда. определите наименьшую площадь такого сечения.

Сечениями параллелепипеда ABCDA1B1C1D1,  проходящими чечез диагональ B1D и точку на диагонали AA1, будут  параллелограммы с различным соотношением сторон. Наибольшими по площади будут два прямоугольника AB1C1D и A1B1CD, а наименьшим будет ромб A2B1C2D со стороной равной меньшей диагонали (точки A2 и C2 расположены на рёбрах AA1 и CC1 соответственно).

A2C2 = A2D = √(1² + 1²) =√2;

B1D = √(1² + 1² + 2²) = √6;

S = 1/2D*d;

S A2B1C2D = 1/2√6 * √2 = √12/2 = √3.

Проверим, действительно ли площадь ромба A2B1C2D меньше площади прямоугольника AB1C1D.

AD = 1;

AB1 = √(1² + 2²) = √5;

S AB1C1D = 1 * √5 = √5.

ответ: √3.

Tg C = √3 / √6 = √(3/6) = 1 / √2. Через этот тангенс находим синус С = tg C / (+-√(1+tg²C)) = 1 /(√2*(1+(1/2))) = 1 / √3. Высота в прямоугольном треугольнике АВС равна ha = √6*sin C = = √6*(1 / √3) = √2. Расстояние от точки S до ВС - это гипотенуза треугольника, где один катет SA = 2 см, а второй - высота ha = √2. Отсюда искомое расстояние от точки S до ВС = √(2²+(√2)²) = √6 = = 2,44949 см. Высоту ha можно было найти по другой формуле: ha =2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a. Для этого надо найти диагональ А = √((√3)²+(√6)²) = √9 = 3 см. А рисунок к этой задаче очень прост - сначала вычертить план треугольника и высоту к гипотенузе, а затем вертикальную плоскость с отрезком SA и высотой ha.

Здесь два важных свойства.
1) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
АС:ВС=10:18.
В треугольнике АВ=28, АС=10х, ВС=18х

2) Угол АВС равен половине дуги АС на которую он опирается как вписанный угол.
Угол АСД равен половине дуги АС - угол между касательной и секущей АС.

Треугольники АСД и ВДС подобны по двум углам. Угол при точке Д у них общий.
Из подобия АС:ВС=АД:АС=ДС:ДВ

Вд=18АД/10
Отсюда
АД+28=18 АД/10
8АД/10=28
АД=35

Тогда СД²=35·63
СД=21√5