Из куба вырезали четырехугольную пирамиду сохранив основание и высоту.найти ее объем если объем куба был 216

Ребро куба равно а=∛216=6.
Площадь основания S=36 ; высота пирамиды также равна 6,
V=S·h/3=36·6/3=72 куб ед.

ответ: 6√3 см²

Объяснение:

Вариант решения.

  Медианы треугольника  пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Как следствие из этого свойства: площадь треугольника делится медианами на 6 равных частей.

 Если провести третью медиану АК, получим 6 равновеликих треугольников с общей вершиной О.

Ѕ(ВОК)=Ѕ(СОК) ⇒ Ѕ(АВС)=6•(ЅВОК)=3•Ѕ{ВОС)

 На приложенном рисунке обозначим длины частей медиан.

Ѕ{ВОС)=ВО•СО•ѕin(BOC)

По т.косинусов соѕВОС = 0 ( проверьте вычисления). Это косинус 90⇒

треугольник ВОС –  прямоугольный ( что подтверждает и проверка по т.Пифагора).⇒

Ѕ(АВС)=3•0,5•ВО•ОС=3•0,5•4√3=6√3  см²

Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то высота пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание - точку О, и высоты боковых граней равны.

Сначала выразим в основании все нужные величины:

АН : ВН = ctg (α/2)  ⇒  AH = BH · ctg(α/2) = 

BH : AB = sin(α/2)  ⇒  AB = BH / sin(α/2) = 

Pabc = 2AB + BC = a/sin(α/2) + a

Sabc = 1/2 · BC · AH = 1/2 · a · a/2 · ctg(α/2) = a²/4 · ctg(α/2)

r = 2Sabc / Pabc

r = 2· a²/4 · ctg(α/2) / (a/sin(α/2) + a) = a·cos(α/2) / (2 + 2sin(α/2))

ΔSOH:

OH : SH = cosβ  ⇒  SH = OH / cosβ = r / cosβ = 2Sabc / (Pabc · cosβ)

Теперь площадь полной поверхности:

S = Sбок + Sосн = 1/2 · Pabc · SH + Sabc

S = 1/2 · Pabc · 2Sabc / (Pabc · cosβ) + Sabc

S = Sabc/cosβ + Sabc = Sabc · (1/cosβ + 1)

S = a²/4 · ctg(α/2) · (1/cosβ + 1)

Вообще, если боковые грани наклонены под одним углом к основанию

Sосн /Sбок = cosβ

Высота пирамиды:

ΔSOH:

SO / r = tgβ

SO = r · tgβ = a·cos(α/2) · tgβ / (2 + 2sin(α/2))