Втреугольнике abc проведены высоты an и bm и отмечена точка k – середина стороны ab. найдите площадь треугольника mnk, если известно, что угол acb равен 105, а длина ab равна 16.

На основе свойства вписанного в окружность угла, опирающегося на диаметр, приходим к выводу, что точки M и N лежат на окружности, диаметр которой - сторона АВ. Радиус её равен 8 см.

Угол NBM равен 90° - (180° - 105°) = 15°. На дугу MN этого угла опирается центральный угол NKM, входящий в заданный треугольник.

Он равен 2*15° = 30°.

Отрезки KN и KM как радиусы равны по 8 см.

Получаем ответ: S = (1/2)*8*8*sin 30° = 32*(1/2) = 16 см².

1) и 2) ответы на теоретические вопросы даются в учебниках.

3. Даны вершины тетраэдра: A(2; -1; 3), B(1; -3; 5), C(6; 2; 5), D(3; -2; - 5). Определить длину высоты от вершины D до плоскости ABC.

Находим нормальный вектор плоскости АВС.  

Находим векторы АB и АC.

Вектор АВ = (1-2; -3-(-1); 5-3) = (-1; -2; 2).

Вектор АC = (6-2; 2-(-1); 5-3) = (4; 3; 2).

Нормальный вектор плоскости АBC находим из векторного произведения векторов АB и АC с применением схемы Саррюса.

i         j        k|       i        j

-1      -2       2|      -1      -2

4        3      2|       4       3 = -4i + 8j - 3k + 2j - 6i + 8k =

                                          = -10i + 10j + 5k.

Нормальный вектор плоскости АBC равен (-10; 10; 5).

Площадь треугольника АВС равна половине модуля векторного произведения векторов АВ и АС.

S = (1/2)√((-10)² + 10² + 5²) = (1*2)√(100 + 100 + 25) = (1/2)√225= (15/2) кв. ед.

Далее находим объём пирамиды ABCD.

Объём пирамиды равен 1/6 модуля смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Произведение векторов (ABxAC) найдено выше и равно (-10; 10; 5).

Находим вектор AD, точки A(2; -1; 3), D(3; -2; - 5).

AD = (3-2; -2-(-1); -5-3) = (1; -1; -8),

(ABxAC) = -10    10     5

       AD =   1      -1      -8  

                -10  - 10  -  4 = -60.

V = (1/6)*|-60| = 10.  

Длину высоты Н из точки D на плоскость АВС находим по формуле:

H = 3V/S = (3*10/(15/2) = 60/15 = 4.

Задача17

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине этого основания .( по теореме о средней линии треугольника)
Считаешь, сколько клеток приходится на основание и делишь на 2 :
10:2=5
ответ:5

Задача 18

Изображён ромб . Можно найти его площадь через диагонали.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей .
Считаем количество клеток у горизонтальной диагонали , это 6
Теперь считаем количество клеток у вертикальной диагонали, это 8
Находим площадь по формуле: S= 1/2 d1*d2 , где d1 и d2- диагонали ромба
S= 1/2 * 6*8
S=24 кВ см

Задача 19

Изображён параллелограмм .
S= a*h, где а- основание ,h - высота
Считаем количество клеток основани , их 7
Считаем количество клеток высоты , их 3
S= 7*3
S= 21 кВ см
ответ: 21 кВ см