Высота СН и биссектриса АК прямоугольного треугольника ABC (∠С = 90°) пересекаются в точке М. Найдите острые углы треугольника ABC Высота СН и биссектриса АК прямоугольного треугольника ABC (∠С = 90°) пересекаются в точке М. Найдите острые углы треугольника ABC, если ∠CMK = 64°.

Проведём высоту ВД=АВ*cos30=4*0,866=3,46. Из точки М проведём к АС высоту МЕ. Получим два прямоугольных подобных треугольника ДВС и ЕМС(поскольку у низ по условию ВМ=МС). МЕ параллельна ВД и проходит через середину ВС следовательно это средняя линия треугольника ДВС. Отсюда МЕ=ВД/2=1,73.  И ДЕ=ЕС.  Косинус угла АМЕ равен cos аме=МЕ/AM=1,73/(корень из 19)=0,3967. Отсюда угол =66гр. 24 мин. Синус этого угла равен =0,92.  Отсюда АЕ=АМ*sinАМЕ=4,36*0,92=4. АС=АЕ+ЕС=4+2=6.(поскольку ДЕ=ЕС=АЕ-АД=4-2=2). Отсюда площадь треугольника S=1/2*АС*ВД=1/2*6*3,46=10,38.

1) ∠A=∠C=90°, т.к опираются на диаметр. Пусть точка К - точка пересечения хорды АС и диаметра. Рассмотрим тр-к АКО- прямоугольный, у которого катет в 2 раза меньше гипотенузы, значит один из углов 30°, а другой -60°. Рассмотрим тр-к АВО: он равнобедренный с углом 60°, а значит все его углы равны - 60°.
Рассм. треугольник АВС - равнобедренный т.к ВК - медиана и высота, тогда ВК - бисектриса ∠АВС, тогда  ∠АВС=120°.
Четырехугольник ABCD - вписанный, тогда ∠В+∠D=180°, тогда ∠D=60°
2) Найдем боковую сторону треугольника по теореме Пифагора. Она равна - 15 см.
Площадь этого треугольника равна ·9·24=108см², а периметр 54 см.
r= где р - полупериметр r=4 см
R= R= 12,5 см