Вравнобедренном треугольнике авс боковые стороны равны 10.основание ас равно 12.определите радиус окружности, касающейся боковой стороны в точке основания высоты, проведенной к боковой стороне и проходящей через серединуас

пусть точки м и n - основания высот, проведённых к сторонам ас и ав соответственно. тогда окружность пройдёт через эти точки. т.к. она касается стороны ав в точке n, то диаметр окружности принадлежит высоте сn, т.к. `cn_|_ab` (как-то плохо доказано, как пусть окружность пересекает cn в точке d, тогда nd - диаметр; угол dmn - прямой, т.к. опирается на диаметр; треугольник dmn - прямоугольный.треугольники amn и abc подобны (так и не понял почему. где-то читал, что они должны быть подобны, а вот по какому признаку? . мне кажется, что тут дело в равенстве углов, но как доказать? один угол общий bac=man, а вот т.к. треугольник авс - равнобедренный с основанием ас, то высота вм - медиана, т. м - середина ас, ам=12/2=6.из подобия следует, что `(mn)/(bc)=(am)/(ab)=> mn=(bc*am)/(ab)=(10*6)/10=6`.треугольник mnd - прямоугольный.а вот теперь идёт утверждение, которое я никак не могу доказать, но которое показалось мне верным и меня к верному ответу. утверждение следующее: треугольники nmd и bmc подобны (опять мне кажется, что дело в подобиях по двум углам, и у того, и у другого есть прямой угол, т.е. углы nmd и bmc равны, но вот как доказать равенство других из подобия следует: `(bm)/(nm)=(bc)/(nc)=> nc=(bc*nm)/(bm)=(10*6)/8=15/2` - это мы нашли диаметр. радиус тогда равен `r=(nc)/2=15/4` - верный ответ.

Вариант решения. пусть данная трапеция - авсd$ аd - большее основание=16 см. 

проведем диагональ вd. 

треугольник всd равнобедренный по условию ( длина боковой стороны равна длине меньшего основания). 

∠свd=∠вdа как накрестлежащие при пересечении параллельных вс и аd секущей вd. 

но  ∠свd=∠вdс как углы при основании равнобедренного ∆ bcd. 

следовательно, угол свd=углу вdа. 

вd = биссектриса угла сdа. 

угол вdа=30°, угол ваd=60°, следовательно, ∆ авd - прямоугольный. 

ав противолежит углу 30° и равна половине гипотенузы аd. ав=8 см. 

вс=ав=8 см. средняя линия трапеции авсd =(16+8): 2=12 см

Если центр описанной около треугольника окружности лежит внутри треугольника, значит треугольник остроугольный. площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между этими сторонами. в нашем случае s = (1/2)ab*bc*sinα или 3√3 = 2√3*3*sinα. следовательно, sinα = (3√3)/6√3 = 1/2. итак, угол в в треугольнике авс равен 30°.  cos30° = √3/2. по теореме косинусов находим сторону ас треугольника: ас = √(ав²+вс²-2*ав*вс*cos30) или √(48+9-2*12√3*√3/2)=√21. ну, а радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле:   r = a*b*c/4s или в нашем случае r=4√3*3*√21/12√3 = √21. ответ: радиус описанной около треугольника окружности равен √21.