1. В остроугольном треугольнике АВС отрезки АР и СК – высоты, АР и СК пересекаются в точке М. Найдите угол АВМ, если угол МСА равен 22 градусов . 2. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С отрезок ВЕ – биссектриса, СЕ = 8, АВ = 12. Найдите площадь треугольника АВЕ. 3. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам, АО = 10, ВС = 12. Найдите периметр треугольника ВОС. 4. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС, медианы АЕ и СМ пересекаются в точке К, ВК = 6, АС = 10. Найдите площадь треугольника

Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL
По условию KL  = KC + LC 
Отрезки касательных проведенные из одной и той же точки к одной и той же окружности равны.
Тогда 
KC = KA
LC = LB
Следовательно KL  = KC + LC  = KA + LB 
Подставим это в первое равенство
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL =
= MK + ML +  KA + LB = 
= MK +  KA + ML  + LB 
Очевидно что
MK +  KA = MA 
ML  + LB = MB 
Тогда
Периметр треугольника KLM = MK + ML + KL = MA + MB 
Последнее выражение (MA + MB ) не зависит от С
Следовательно периметр треугольника KLM не зависит от выбора точки С
что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим треугольник MOE:
а). МО = ОЕ (по условию). => треугольник МОЕ - равнобедренный => угол ОМЕ = ОЕМ = ЕМС (т.к ЕМ биссектриса).
2. Угол ЕМС = углу ОЕМ - накрест лежащие при ОЕ || МС и секущей МЕ.
ЧТД.

1. Т.К МЕ - биссектриса угла ОМС => ОМЕ = ЕМС => угол ОМЕ = 1/2 ОМС = 1/2*64 = 32 градуса.
2. Т.К треугольник ОМЕ - равнобедренный => угол ОМЕ = углу МЕО = 32 градуса.
3. Сумма углов треугольника = 180 градусов => угол МОЕ = 180 - 32 - 32 = 116 градусов.
ответ: 32; 32; 116.