Втреугольнике abc, угол b=68 градусов, угол a=59 градусов. ad, be, и cf - биссектрисы, пересекающиеся в точке o. найдите угол bof.

  Сумма углов треугольника 180°⇒ ∠С=180°-∠А-∠В=53°. В ∆ ВЕС  ∠СВЕ=68°:2=34°⇒ ∠ВЕС=180°-∠СВЕ-∠ВСЕ. Угол ВЕС=180°-87°=93°. В ∆ СОЕ угол ОСЕ=ВСЕ:2=26,5°. ⇒ Угол СОЕ=180°-(<СЕО+<ОСЕ)=180°-119,6°=60,5°. ∠ВОF=СОЕ (вертикальный)=60°

ВН - биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, значит ВН - высота.

ОР⊥ВС как радиус, проведенный в точку касания.

ΔOPQ равнобедренный (OP = OQ как радиусы), значит

∠OPQ =  ∠OQP = α

∠POH = ∠OPQ +  ∠OQP = 2α как внешний угол треугольника OPQ.

ΔСОН = ΔСОР по катету и гипотенузе (∠СНО = ∠СРО = 90°, ОН = ОР как радиусы, ОС - общая), значит

∠СОР = ∠СОН = 1/2 ∠РОН = α.

Итак, ∠OPQ = ∠COP = α, а эти углы - внутренние накрест лежащие при пересечении прямых QP и ОС секущей ОР, значит

QP ║ OC.

Точка пересечения биссектрис АМ и ДМ, очевидно, находится на стороне ВС. 

Угол АМВ = угол МАД (накрест лежащие углы для параллельных ВС и АД, секущей АМ) , угол АМВ = угол МАД (так как АМ - биссектриса) . 

Треугольник АВМ равнобедренный, АВ = ВМ. 

Угол СМД = угол АДМ (накрест лежащие углы для параллельных ВС и АД, секущей ДМ) , угол АДМ = угол СДМ (так как ДМ - биссектриса) . 

Треугольник СМД равнобедренный, СМ = СД. 

АВ = СД (противоположные стороны параллелограмма) . 

Поэтому АВ = ВМ = СМ, ВС = ВМ + СМ = 2*АВ. 

Периметр 2*(АВ + ВС) = 2*3*АВ = 36 см. 

АВ = 6 см, ВС = 12 см.