43.43. дано точки а (8; 0; 4), в (13; 4; 7), с (11; -3; 31) доведіть, що трикутник abc прямокутний.2) знайдіть площу круга, описаного навколо трикутника abc.​

43/5+2 5/7+5 9/35=4 21/35 + 2 25/35 + 5 9/35 = 11 55/35 = 12 20/35 = 12 4/7 1 2/3+6 4/15+8 17/45= 1 30/45 + 6 12/45 + 8 17/45 = 15 53/45 = 16 8/45 8 3/40+12 11/20+6 7/80 = 8 6/80 + 12 44/80 + 6 7/80 = 26 57/80

Обозначим АВ х см,ВС у см,тогда по условию у-х=4,зн. у=4+х.ВД=12 см,АС=14см
из ΔАВД и ΔАВС по теореме косинусов (учитывая,что угол В =180 -уголА и то ,что косинус тупого угла отрицательный ) запишем :12²=х²+у²-2xy соs A,  14²=x²+y²+2xycosA сложим эти равенства 12²+14²=2х²+2у²,тк у=4+х,то 144+196=2х²+2(4+х)²
2х²+2(16+8х+х²)=340 (делим на два
х²+16+8х+х²=170
2х²+8х-154=0 (делим на два)
х²+4х-77=0 по Виета : х1+х2= -4
                                  х1·х2= -77,значит х1=-11,х2=7
-11 не подходит, значит одна сторона 7 см,другая (у=4+х) 11 см, а периметр равен (7+11)·2=36 см

Вариант решения
В параллелограмме две пары равных сторон.
Пусть каждая сторона одной пары  рвана х,
тогда  каждая сторона другой пары равна х+4
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
D²+d²=2a²+2b²
Запишем уравнение по данным в условии значениям:
14²+12²=2х²+ 2(х+4)²
196+144=2х²+2х²+16х+32
4х²+16х-308=0
Для удобства вычисления разделим обе стороны на 4 и решим квадратное уравнение:
х²+4х-77=0
D=b²-4ac=4²-4·(-77)=324
х₁=(-4+√324):2=7см
х₂=(-4-√324):2=-11 ( не подходит)
Стороны одной пары равны по 7 см 
Стороны другой пары равны по  11 см каждая
Р=2*(7+11)=36см