Найдите периметр треугольника, если его средние линии равны 6 см, 9см и 10 см

Средняя линия в треугольнике соединяет середины двух строн, она параллельна третьей стороне и равна её половине.

Таким образом зная все средние линии треугольника можно найти все стороны треугольника.

PΔ = 2·6см+2·9см+2·10см = 12см+18см+20см = 50см

ответ: 50см.

Докажем утверждения про среднюю линию:

Пусть в ΔABC: M, N это середины сторон AB, BC соответственно, тогда по теореме Фалеса MN║AC т.к. BN:NC = BM:MA. Поэтому ∠BNM=∠BCA и ∠BMN=BAC как соответственны углы при параллельных прямых. Значит ΔBMN ~ ΔBCA (по трём углам). BC=2·BN т.к. N - середина BC. То есть у треугольников коэффициент подобия равен 0,5. Поэтому MN = AC/2.

Дано: AC=20 см угол ABC = 120° Найти: BH. Решение: 1) треугольник ABC - равнобедренный (по условию), отсюда следует, что углы BAC и BCA равны и каждый из них по 30° ((180-120)/2). 2) т.к. высота в равнобедренной треугольнике является и медианой, и бессектрисой, то отсюда следует: угол ABH = 60° AH=HC=10 см треугольник ABH - прямоугольный( BH - высота). 3) Рассмотрим треугольник ABH: Угол ABH = 60° AH=10 см. Раз SIN угла в прямоугольном треугольнике - это отношения противолежащего катета к гипотенузе, то составим пропорцию: SIN60°=AH/AB √3/2=10/AB AB=10/(√3/2) AB=20/√3 4) По теореме Пифагора находим BH: AB²=BH²+AH² 1200=BH²+100 BH²=1200-100 BH²=1100 BH=√1100 BH=10√11 ответ: BH = 10√11.

Длина медианы  = м

Длина боковой стороны - а

Длина основания - о

Случай 1

Тогда П1=м+а+0,5а=15

П2=м+0,5а+о=6

П=2а+о=15+6=21

 

3 уравнения - 3 неизвестных

из первого м=15-1,5а

из третьего о=21-2а

из второго 15-1,5а +0,5а+21-2а=6,

3а=30

а=10

о=21-20=1

 

ответ боковые стороны - 10 основание - 1

 

Случай 2

Тогда П1=м+а+0,5а=6

П2=м+0,5а+о=15

П=2а+о=15+6=21

 

3 уравнения - 3 неизвестных

из первого м=6-1,5а

из третьего о=21-2а

из второго 6-1,5а +0,5а+21-2а=15,

3а=12

а=4 о=21-8=13

ответ боковые стороны - 4 основание - 13