Докажите, что медиана и пересекающаяся с ней средняя линия треугольника делятся пополам в точке их пересечения. желательно с чертежом.

Ну только , что отвечала на этот вопрос .
Если брать , что это частный случай для р/с , то медиана делит сторону на 2 равные части и соединя линия тоже делит строны на 2 части , следовательно в точке пересечения будет делиться на пополам медиана. Конечно если это не частный случай , то тут правило 9 класса соотношение медиан в одной точке и делятся они 2:1 . И средняя линия будет пересекаться в этой точке образованной медианами

Рассмотрим произвольный равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ.
Пусть одна высота из угла А- это АК, а из угла В- ВМ.
Рассмотрим треугольники АМВ и АКВ.
у.(угол) А=у. В (т.к. треугольник АВС равнобедренный)
у. АМВ= у. АКВ (т.к. АК и ВМ- высоты; у. АМВ= у. АКВ= 90)
Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что:
у. АМВ+ у. А+ у. МВА= 180
у. АКВ+ у. В+ у. КАВ= 180 
Но у. АМВ= у. АКВ и у. А=у. В. Значит у. МВА=у. КАВ.
АВ- общая сторона, а значит равная в обоих треугольниках.
треугольник АМВ = треугольнику АКВ (по стороне и двум прилежащим к ней углам)
В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно:
АК=МВ.
ЧТД

Построим равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. Проведем высоты АД и ВЕ.
Рассмотрим треугольники ACД и BCЕ. 
AC=BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника), угол АСВ - общий, углы AДC=BЕC=90 (так как AД и BЕ высоты). 
Сумма углов треугольника равна 180 градусам. 
В треугольнике ACД угол CAД=180-(AДC+АСВ)=180 - 90 - АCВ=90-АСВ градусов. 
В треугольнике BCЕ угол CBЕ=180- (BЕC+АСВ)=180- 90 -АСВ=90-АCВ градусов. 
Значит: углы CAД=CBЕ. 
Следовательно, треугольники ACД и BCЕ равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 
Так как треугольники ACД и BCЕ равны то и соответствующие стороны равны: AД=BЕ.