Прямая, параллельная стороне mn треугольника mnk, пересекает стороны km и kn в точках e и f соответственно, ke = 6 см, km = 10 см, kf = 9 см, kn = 15 см, mn = 20 см. чему равна сторона ef?

треугольник mnk подобен екf, углы   кеf = nмк, кfе = nкм, так как это  соответственные углы при параллельных прямых мn и еf.

так как треугольники  подобны по двум углам, то их  стороны пропорциональны,т.е. 

мk : ek = kn : nf= mn : ef.      ef = ek*mn : mk = 6*20: 10=12

Точка s удалена от каждой из вершин правильного треугольника abc на корень из 13 см. найти двугранный угол sabc, если ab = 6 см соединим s с вершинами треугольника авс. sa=sb=sc=sqrt(13) получим правильную пирамиду. пусть so - ее высота. тогда так как боковые ребра равны, то о-центр вписанной окружности (точка пересечения высот, проведем со до пересечения с ав в точке м . м- середина ав, см перпендикулярно ав. тогда и sм перпендикулярна ав по теореме о трех перпендикулярах, а значит угол smo - линейный угол двугранного угла sabc (его надо найти) медиана правильного треугольника со стороной а равна а*sqrt(3)/2, а медианы в точке пересечения делятся как 2: 1, считая от вершины) можно найти ом=sqrt(3) sм находится из треугольника asm по т. пифагора сossmo=mo/sm

Есть произвольная точка а, находяшаяся вне окружности. есть точка в, ближайшая точка окружности к точке а. кратчайшее растояние от точки а до точки в будет перпендикулярно касательной к окружности, проведенной через точку в. в свою очередь радиус окружности, проведенный из центра окружности о в точку в, тоже перпендикулярен к вышеописанной касательной. значит точки а, в, о принадлежат одной прямой. самой дальней точкой от точки в (а значит и от точки а т. к. они принадлежат одной прямой) будет диаметрально противоположная точка окружности с. т. е. вс - диаметр. мы можем вычислить диаметр, зная расстояния ав и ас: d= ас-ав = 50-20 = 30. если диаметр окружности будет 30, то радиус - 15.