Впрямоугольный треугольник авс вписана окружность, которая соприкасается с гипотенузой треугольника в точке d, и в этой точке делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. найти длину катетов треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3 см.

Пусть дан ΔАВС
∠В = 90°
т.О - центр вписанной окружности
D, M, K - точки касания
OD = 3 cм
AD = 5 cм
DС = 12 см
Найти: АВ, ВС

АВ, ВС и АС - касательные к окружности с центром в т.О
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ⇒
АМ = AD = 5 cм
СК = СD = 12 см
ВМ = ВК = х см

АВ = х + 5
ВС = х+12
АС = 5 + 12 = 17 см
По теореме Пифагора:


АВ = х + 5 = 3 + 5 = 8 см
ВС = х+12 = 3 + 12 = 15 см

ответ: 8 см и 15 см.

1) центр вписанной окружность находится на пересечении бисектрис углов этой фигуры. Если это треугольник, достаточно провести 2 бисектрисы. Отмеряем радиус окружности так, чтобы круг соприкасался с одной из сторон фигуры.
2) Центр описанной окружности находится на пересечении серединных перпендикуляров ( высот) треугольника. Отмеряем радиус окружности так, чтобы окружность проходила через ВСЕ точки треугольника.
3) Да, центр вписанной окружности может проходить за пределами треугольника, если треугольник имеет тупой угол ( больше 90 градусов)

1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, значит

ВА = ВС.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит

ОА⊥ВА и ОС⊥ВС.

ΔОВА = ΔОВС по гипотенузе и катету (ВО - общая, ВА = ВС), значит ВО - биссектриса угла АВС.

∠ОВА = 1/2∠АВС = 30°, тогда в прямоугольном треугольнике ОВА против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

ОА = 1/2 ОВ = 1/2 · 28 = 14

2. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Значит ΔАОВ прямоугольный и равнобедренный (АВ = ОА = 2 см). По теореме Пифагора:

ОВ = √(АВ² + ОА²) = √(4 + 4) = 2√2 см