Втреугольнике abc высота cd опущенная из вершины прямого угла c, делит гипотенузу ab на отрезки ad = 5 см и db = 4 см. чему равен катет bc?
Ответы
--- 1 ---
ΔАВМ равнобедренный, т.к. в прямоугольном треугольнике медиана ВМ равна половине АМ гипотенузы АС
∠ВАМ = ∠АВМ = β
--- 2 ---
ΔАВС ~ ΔВСТ (~ - символ подобия)
т.к. угол С у этих треугольников общий, и по одному прямому углу ∠АВС = ∠ВСТ = 90°
∠СВТ = ∠ВАС = β
--- 3 ---
Угол между медианой и высотой по условию равен острому углу треугольника
∠МВТ = ∠ВАС = β
--- 4 ---
∠АВС = ∠АВМ + ∠ МВТ + ∠СВТ = 3β
β = 30°
Это угол А исходного треугольника
--- 5 ---
известен радиус вписанной окружности, надо найти гипотенузу
АО = АД = x
CO = CE = y
ВД = ВЕ = r
Теорема Пифагора
(x+y)² = (x+r)² + (y+r)²
и катет против угла в 30 градусов в 2 раза короче гипотенузы
x + y = 2(r + y)
x + y = 2r + 2y
x = 2r + y
(2r + y + y)² = (2r + y + r)² + (y+r)²
(2r + 2y)² = (3r + y)² + (y+r)²
4r² + 8yr + 4y² = 9r² + 6yr + y² + y² + 2yr + r²
2y² = 6r²
y² = 3r²
y = r√3 (отрицательный корень отбросили)
x = 2r + y = 2r + r√3
--- 6 ---
Длина гипотенузы
АС = x + y = 2r + r√3 + r√3 = 2r + 2r√3
Половина гипотенузы
МС = АС/2 = r + r√3
ВТ - высота равнобедренного треугольника МВС, точка Т делит основание пополам.
Расстояние между точками медианы М и высоты Т
МТ = 1/2*МС = r(1 + √3)/2
РАсстояние между точкой высоты и вершиной А
АТ = АМ + МТ = 3r(1 + √3)/2
ΔАВМ равнобедренный, т.к. в прямоугольном треугольнике медиана ВМ равна половине АМ гипотенузы АС
∠ВАМ = ∠АВМ = β
--- 2 ---
ΔАВС ~ ΔВСТ (~ - символ подобия)
т.к. угол С у этих треугольников общий, и по одному прямому углу ∠АВС = ∠ВСТ = 90°
∠СВТ = ∠ВАС = β
--- 3 ---
Угол между медианой и высотой по условию равен острому углу треугольника
∠МВТ = ∠ВАС = β
--- 4 ---
∠АВС = ∠АВМ + ∠ МВТ + ∠СВТ = 3β
β = 30°
Это угол А исходного треугольника
--- 5 ---
известен радиус вписанной окружности, надо найти гипотенузу
АО = АД = x
CO = CE = y
ВД = ВЕ = r
Теорема Пифагора
(x+y)² = (x+r)² + (y+r)²
и катет против угла в 30 градусов в 2 раза короче гипотенузы
x + y = 2(r + y)
x + y = 2r + 2y
x = 2r + y
(2r + y + y)² = (2r + y + r)² + (y+r)²
(2r + 2y)² = (3r + y)² + (y+r)²
4r² + 8yr + 4y² = 9r² + 6yr + y² + y² + 2yr + r²
2y² = 6r²
y² = 3r²
y = r√3 (отрицательный корень отбросили)
x = 2r + y = 2r + r√3
--- 6 ---
Длина гипотенузы
АС = x + y = 2r + r√3 + r√3 = 2r + 2r√3
Половина гипотенузы
МС = АС/2 = r + r√3
ВТ - высота равнобедренного треугольника МВС, точка Т делит основание пополам.
Расстояние между точками медианы М и высоты Т
МТ = 1/2*МС = r(1 + √3)/2
РАсстояние между точкой высоты и вершиной А
АТ = АМ + МТ = 3r(1 + √3)/2
Строим треугольник, образованный: вершиной, которая проецируется в центр основания, проекцией этой вершины на это основание, и вершиной, лежащей на том же ребре. Этот треугольник - прямоугольный, т.к. линия проекции перпендикулярна плоскости, на которую проецируется.
В этом треугольнике катеты: высота h и половина диагонали =a√2/2, а угол между вторым катетом и гипотенузой = 30 (по условию). Т.о.
h = a√2/2 * tg π/6 = √2/2 * √3/3 a = a/√6
Объем призмы вычисляется по формуле: V = S*h, где S - площадь основания (равна a²), т.о:
V = a² * a/√6 = a³/√6
В этом треугольнике катеты: высота h и половина диагонали =a√2/2, а угол между вторым катетом и гипотенузой = 30 (по условию). Т.о.
h = a√2/2 * tg π/6 = √2/2 * √3/3 a = a/√6
Объем призмы вычисляется по формуле: V = S*h, где S - площадь основания (равна a²), т.о:
V = a² * a/√6 = a³/√6
Ответить на вопрос
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
BC=AB:2=9:2=4,5)))