100 ! докажите, что любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек a, b, c и их образов a', b', c' существует единственное движение. с рисунком.

Теорема Шаля

Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования(движения) плоскости. Её доказал геометр и механик Мишель Шаль (1793—1880)

Всякое сохраняющее ориентациюдвижение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию), либо параллельный перенос. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.

При обобщении на трёхмерное пространство формулировка даже упрощается:

Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением. Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.

Также теоремой Шаля называют некоторые другие утверждения (см. англ. статью, [1] или [2]).

Доказательство

Основные идеи доказательства:

Любое движение однозначно задается тремя различными точками и их образами.

Любое движение представимо в виде композиции не более чем трех осевых симметрий.

Перебор вариантов: движение представимо в виде композиции одной, двух или трех осевых симметрий.

Периметр-сумма всех сторон,значит
а)60-(13*2)=60-26=34, значит 34:2=17-вторая сторона параллелограмма (ответ:13 и 17)
б)пусть х-сторона параллелограмма,значит получим уравнение Х+Х+(4+Х)+(4+Х)=60, отсюда выразим х. 4Х=60-8, Х=13 -одна сторона, х+4=13+4=17- другая сторона. (ответ: 13 и 17)
в) пусть Х-сторона параллелограмма, тогда Х+Х+3Х+3Х=60, отсюда х=7.5- одна сторона, другая сторона 3х= 3* 7,5=22.5. (ответ:7.5 и 22.5)
г)пусть х и у -стороны параллелограмма,тогда составим систему Х+У=7 И 2Х+2У=60,решим систему и получим у = 11,5, х= 18.5.(ответ:11.5 и 18.5)
д) решение такое же как и у задачи №3.

1.
S=√p(p-a)(p-b)(p-c) , формула Герона , p _полупериметр
p =(a+b+c)/2 =(3+8+7)/2 =9 (см).
S =√9*6*1*2 =6√3 (см²).

2.
∠A +∠C =140°. 
---
∠B =∠D - ?
 * * * трапеция равнобедренная ⇒ ∠A=∠C  и ∠D = ∠B  * *  *
∠A=∠C =140°/2 =70°.
 ∠A+∠B =180° ( как сумма односторонних углов) ;
∠B =180° - ∠A=180 °- 70°=110°.
или 
(∠A+ ∠C)+(∠B + ∠D) =360 ;
(∠A+ ∠C)+2∠B  =360 ;
∠B =(360°-(∠A+ ∠C))/2 =(360°-140°) /2 =110°.

4.
S =  AB*CH/2 = 3*3/2 =4,5 (см²).

5.
R =c/2 где с гипотенуза ; 
По теореме Пифагора :  c=√(6²+8²) =√(36+64) =√100  =10 (см) .
R =c/2 =10 см /2 =5 см.