1. периметр равнобедренного треугольника равен 37 см. найдите стороны этого треугольника, если его основание меньше боковой стороны на 5см. 2. периметр равнобедренного треугольника равен 70см. найдите стороны этого треугольника, если его боковая сторона относится к основанию как 5: 4. 3. отрезки ме и рк пересекаются в точке d, являющейся серединой каждого из них. докажите, что: а) треугольники рdе и кdм равны; б) ped = kmd. 4. в равнобедренном треугольнике авс с основанием ас на медиане bd отмечена точка к. докажите, что треугольник акс - равнобедренный. 5. на сторонах угла d отмечены точки м и к так, что dm = dk. точка р лежит внутри угла d и рк = рм. докажите, что луч dр – биссектриса угла mdk. 6. начертите равнобедренный треугольник авс с основанием ав. с циркуля и линейки проведите: а) медиану треугольника авс к стороне ас; б) биссектрису треугольника авс угла в.

1. х-основание
х+х+х+5+5=37
3х+10=37
3х=27
х=9 основание
9+5=14 стороны
2. х-одна часть 
5х+5х+4х=70
х=5
5х5=25 сторона 
3. тк отрезки пересекаются в середине следовательно мд=ед, рд=дк, угол рде= углу мдк тк вертикальные (равны по второму признаку)
исходя из предыдущего доказательства, что треугольники равны, следовательно все их углы равны 

Найдем гипотенузу прямоугольного треугольника.

√(6²+8²)=√100=10

Значит сторона правильного треугольника равна 10 см.

Найдем полупериметр правильного треугольника со стороной 10:

р=10*3/2=15 см

Найдем радиус вписанной в треугольник окружности:

r=√(p-10)³/p=√(125/15)=5/√3

ответ: 5/√3 см

Рассмотрим второй вариант, если бы в условии нужно было узнать возможно ли построить  равносторонний треугольник внутри прямоугольного, не пересекающийся с исходным, одной стороной лежащий на гипотенузе и с вершиной, совпадающей с вершиной прямого угла  и если возможно - найти радиус вписанной окружности в этот треугольник.

Решение: В равностороннем треугольнике все его внутренние углы равны 60°. поэтому, нужно убедиться, что оба непрямых угла прямоугольного треугольника меньше 60°. Для этого достаточно определить один уз углов, прилегающих  к гипотенузе. Т.к. длины всех сторон уже известны (6,  8 и  10 см), найдем отношение катета длиной 8 к гипотенузе. 8/10=0,8. arcsin 0,8≈53°<60°, значит и второй угол 180-90-53≈37°<60°.

Делаем вывод, что треугольник с заданными параметрами вписать можно.

Очевидно, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу прямоугольного треугольника, совпадает с высотой искомого равностороннего треугольника. Найдем эту высоту.

h=6*sin(arcsin 0,8)=6*0.8=4.8 см

Найдем теперь сторону равностороннего  треугольника с высотой 4,8 см.

а=4,8/sin60°=9.6/√3

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности:

r=a/(2√3)=4,8/3=1,6

ответ: 1,6 см

Проведем С₁А₁. С₁А₁║АС, так как АС₁=СА₁, ∠ВАС=∠АСВ (треугольник равнобедренный). Из параллельности С₁А₁║АС, следует, что СС₁ как секущая образует равные углы ∠АСС₁ = ∠СС₁А₁=40° (накрест лежащие углы).

Медианы равнобедренного треугольника точкой пересечения делятся на отрезки, соотношение длин которых 2:1, а так как АА₁=СС₁, то и отрезки ОС₁=ОА₁ и СО=АО. Обозначим стороны  ОС₁=ОА₁ за х, тогда СО=АО=2х, а искомая медиана СС₁=3х.

Из точки О опустим высоту ОО₁ на С₁А₁. ОО₁ также является медианой ΔОС₁А₁, . Найдем С₁О₁ как катет прямоугольного ΔОС₁О₁.

С₁О₁=х·cosOC₁O₁=x·cos40°.

С₁А₁=2·С₁О₁=2x·cos40°.

По теореме косинусов из ΔСС₁А₁ найдем х.

6²=(2x·cos40°)²+9х²-2·3х·2x·cos40°·cos40°

36=х²·(9-8·cos²40°)

х=6/√(9-8·cos²40°)

СС₁=3х=18/√(9-8·cos²40°)≈8,67 см

ответ: СС₁=18/√(9-8·cos²40°)

(задача проверена графическим методом. всё совпало)