Докажите, что если все ребра тетраэдра равны нулю, то все его двугранные углы также равны. найдите эти углы

Сделали

Построим SO  пл. АВС.
SA, SB, SC - наклонные, а рав­ ные наклонные имеют равные проекции, поэтому АО=ВО = СО; поэтому в пл. АВСАО = R,R- ра­диус описанной окружности.
ΔАВС  -  правильный;  про­ должим АО, СО и ВО до пересе­чения их со сторонами треугольника.
(из свойств правильного треугольника).
Соединим точки 5 и В, Ах и 5, С\ и 5.
линейный угол двугранного угла SACB.
линейный угол двугранного угла SABC.
- линейный угол двугранного угла SBCA (по определению).
ΔOB1S = ΔOC1S = ΔOA1S - по двум катетам (ОВ1 = ОС1 = ОА1 = r, r - радиус вписанной окружности в ΔABC, SO - общий катет),
(из равенства треугольников).
Раз все ребра тетраэдра равны, то доказанное выше справедливо и для всех двугранных углов.
Поэтому все двугранные углы равны.
Отыщем один из линейных углов двугранного угла, например, двугранного угла SBCA.
Пусть а - ребро тетраэдра, то имеем
ΔBSC: SA1  =а sin 60° 
ΔАВС: ОА1 
ΔSA1O: cos φ 
φ - острый угол.
Отсюда: φ = 
ответ: φ = 

слова "середина другого-" смущают. Пусть вторая плоскость содержит середины боковых сторон (а первая - основания, целиком). Тогда третья вершина треугольника будет принадлежать третьей плоскости, отстоящей от второй на то же расстояние, что и первая, но - с другой стороны. Всегда можно провести секущую плоскость, чтобы треугольник лежал в ней. Легко показать и равенство расстояний, поскольку плоскость бета всегда проходит через среднюю линюю.

 

Дальше надо сформулировать утверждение о единственности плоскости, это утверждение очевидно, но требует точности. Скажем, если в 3 случаях у нас вершины попали в эту плоскость, то и все туда попадут, и никуда больше.

 

Это можно и так сформулировать - если взять 2 плоскости, и соединить 2 ЛЮБЫЕ точки, то плоскость, параллельная этим и равноотстоящая от них, разделит этот отрезок пополам.  

Вообще все эти "авторские" задачи преследуют методические цели - надо, чтобы ученик владел простейшими понятиями. Скажем, если есть 2 плоскости, проходящие через три точки, то они совпадают... и так далее, неприятность тут в том, что надо именно владеть понятиями, как разговорным языком.

через 2 прямые МР и НО модно провести плоскость, препендикулярную заданной. В этой плоскости МНРО - трапеция, с основаниями НО = 12, МР = 24, и боковой стороной, перпендикулярной основаниям (это в условии задано, что МР и НО препендикулярны плоскости, а РО как раз лежит в этой плоскости, потому что точки Р и О лежат в ней :. Эта боковая сторона РО = 5. Надо найти вторую, так сказать, наклонную боковую сторону трапеции. Как это делается, ясно из следующего соотношения

МН^2 = (МР - НО)^2 + РО^2; 

МН^2 = (24 - 12)^2 + 5^2;

МН =13