Tabc - треугольная пирамида. точки о и к - внутренние точки отрезков ав и тс соответственно. постройте угол между прямыми со и вк.

Прямые СО и ВК скрещивающиеся, так как

    ВК ⊂ (ТВС), СО ∩ (ТВС) = С, С ∉ ВК.

Построим прямую, параллельную прямой СО, и пересекающую прямую ВК. Для этого

Построим сечение ТСО.

Прямая СО и точка К лежат в этом сечении.

В плоскости ТСО проведем прямую КР║СО.

∠(СО; ВК) = ∠(КР; ВК) = ∠ВКР.

ОбъяІншими словами: дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур, як і подібність трикутників, позначають спеціальним знаком: *. Запис F * F1 читається як «фігура F подібна фігурі F1».

З означення подібності фігур випливає, що рівні фігури — подібні (коефіцієнт подібності дорівнює одиниці).

Властивості подібних фігур

1)  Кожна фігура подібна собі (коефіцієнт подібності дорівнює 1).

2)  Якщо фігура F подібна фігурі F1 з коефіцієнтом подібності k, то фігура F1 подібна фігурі F з коефіцієнтом .

3)  Якщо фігура F1 подібна фігурі F2 з коефіцієнтом подібності k1, а фігура F2 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k2, то фігура F1 подібна фігурі F3 з коефіцієнтом подібності k1· k2.

4)  Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

Доведемо цю властивість для многокутників.

Нехай F і F' — це два подібні n-кутники з коефіцієнтом подібності k, a S i S' — їхні площі (рис. 175).

 

 

З'ясуємо, чому дорівнює відношення їхніх площ. Розіб'ємо n-кутник F на п трикутників Δ1, Δ2, ..., Δп, сума площ яких дорівнює S.

Перетворення подібності, яке переводить F у F', переводить ці трикутники у трикутники , , ..., , сума площ яких дорівнює S'.

Оскільки з урахуванням коефіцієнта подібності k основи і висоти трикутників Δ1, Δ2, ..., Δn дорівнюють a1 і h1, а2 і h2, ..., ап і hп, то основи і висоти трикутників , , ..., дорівнюють відповідно ka1 і kh1, ka2 і kh2, ..., kan і khn. Тоді

S' = ka1 · kh1 + ka2 · kh2 + ... + kan · khn = k2= k2S.

Оскільки S' = k2S,.

Отже, площі подібних многокутників відносяться як квадрати їхніх відповідних лінійних розмірів.

Розв'язування вправ

1.   Наведіть приклади подібних фігур.

2.   Чи подібні будь-які рівні фігури?

3.   Чи рівні будь-які подібні фігури? При якій умові подібні фігури рівні?

4.   Про дві фігури відомо, що F2 * F1 і F1 * F2 з тим самим коефіцієнтом подібності k. Що можна сказати про значення коефіцієнта k і про фігури F1 і F2?

5.   Згадайте означення подібних трикутників.

6.   Сформулюйте ознаки подібності трикутників.

 

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

1.   Сторони двох правильних n-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі? (Відповідь. а2 : b2)

2.   Площі двох квадратів відносяться як 3 : 5. Чому дорівнює сторона меншого квадрата, якщо сторона більшого квадрата дорівнює 10 см? (Відповідь.  (см))

3.   Площа меншого многокутника дорівнює 45 см2. Чому дорівнює площа більшого многокутника, подібного даному, якщо відповідні сторони многокутників дорівнюють 10 см і 15 см? (Відповідь. 101,25 см2)

4.   Відповідні сторони двох подібних многокутників відносяться як а : b. Площа першого многокутника дорівнює S. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. )

5.   Периметри подібних многокутників відносяться як 5 : 7, а різниця площ дорівнює 864 см2. Знайдіть площі многокутників.

Розв'язання

Нехай S см2 — площа меншого многокутника, тоді (S + 864) см2 — площа більшого многокутника. Згідно з теоремою маємо , тоді 49S = 25(S + 864); 24S = 21600; S = 900 см2.

Отже, площа меншого многокутника дорівнює 900 см2, а площа більшого 900 + 864 = 1764 (см2).

Відповідь. 900 см2 і 1764 см2.

6.   Пряма, перпендикулярна до висоти трикутника, ділить його площу навпіл. Знайдіть відстань від цієї прямої до вершини трикутника, з якої проведено висоту, якщо вона дорівнює h.

Розв'язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 176) BDAC, FKBD, SΔFВК * SΔFKC, BD = h.

ΔFBK * ΔАВС (за двома кутами), тоді . Враховуючи, що SΔABC = 2SΔFBK BD = h, маємо  = , звідси BS2 = BS, або BS =  = .

Відповідь. .

 

 

7.   На стороні АВ трикутника ABC взято довільну точку D і з неї проведено відрізки DE і DF так, що DE || AC, DF || BC. Знайдіть площу трикутника CEF, якщо площі трикутників ADF і BED відповідно дорівнюють S1 і S2 (рис. 177).

 

 

Розв'язання

Нехай S — площа трикутника CEF. ΔADF * ΔBED (оскільки кожний із них подібний трикутнику ABC.

Отже, , звідси .

Висоти трикутників ADF і FEC, проведені до сторін AF і FC, рівні між собою.

Тоді , звідси S = S1 = .

Відповідь. .

 

V. Домашнє завдання

1.   Вивчити теоретичний матеріал.

2.   Розв'язати задачі.

1)  Через середину висоти трикутника перпендикулярно до неї проведено пряму. У якому відношенні вона ділить площу трикутника?

2)  Периметри правильних л-кутників відносяться як а : b. Як відносяться їхні площі?

 

VI. Підбиття підсумків уроку

Завдання класу

1.   Сформулюйте теорему про відношення площ подібних фігур.

2.   Сторони рівносторонніх трикутників дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює відношення їхніх площ? (Відповідь. 1 : 4)

3.   Периметри двох подібних многокутників відносяться як 3 : 5. Площа більшого многокутника дорівнює 40 см2. Знайдіть площу другого многокутника. (Відповідь. 14,4 см2)

 

Попередня

Зміст

Наступна

 

Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити

 

снение:

Чтобы найти площадь треугольника ОСН, сначала нужно найти длины сторон этого треугольника. Для этого воспользуемся некоторыми свойствами окружностей и квадратов.

1. Найдем радиус окружности с центром О. Радиус окружности равен половине диагонали квадрата, поэтому радиус R равен:
R = (сторона квадрата) / 2 = (6 корень из 2) / 2 = 3 корень из 2.

2. Найдем длину стороны квадрата. По условию задачи сторона квадрата равна 6 корень из 2.

3. Так как окружность, вписанная в квадрат, касается стороны AD в точке Н, то сторона ОН является радиусом окружности. Значит, длина стороны ОН равна R = 3 корень из 2.

Теперь, когда мы знаем длины сторон треугольника ОСН, мы можем найти его площадь, используя формулу площади треугольника по трем сторонам - формулу Герона.

4. Вычислим полупериметр треугольника ОСН. Полупериметр равен сумме длин всех сторон, деленной на 2:
p = (длина стороны ОН + длина стороны СН + длина стороны ОС) / 2.

В нашем случае:
p = (3 корень из 2 + 6 корень из 2 + 3 корень из 2) / 2 = 12 корень из 2 / 2 = 6 корень из 2.

5. Используя формулу Герона для вычисления площади треугольника, получаем:
S = корень из (p * (p - длина стороны ОН) * (p - длина стороны СН) * (p - длина стороны ОС)).

В нашем случае:
S = корень из (6 корень из 2 * (6 корень из 2 - 3 корень из 2) * (6 корень из 2 - 6 корень из 2) * (6 корень из 2 - 3 корень из 2))
= корень из (6 корень из 2 * 3 корень из 2 * 3 корень из 2 * 0)
= корень из (0)
= 0.

Итак, площадь треугольника ОСН равна 0.