Втреугольнике abc: ac=bc=5; ab=6 найдите: а) площадь треугольника abc; б) синус угла а.

По формуле Герона найдем площадь:
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)=√(8*2*3*3)=√144=12 (ед.²)

S=1\2 * АВ * АС * sin∠A
1\2 * 6 * 5 * sin∠A = 12
15 * sin∠A = 12
sin∠A = 12\15 = 0,8

--- 1 ---
MT₁² + T₁P² = 5²
MT₁² + (T₁P+6)² = 9²
---
12*T₁P + 36 = 81 - 25
12*T₁P = 81 - 25 - 36 = 81 - 61 = 20
T₁P = 5/3 см
MT₁² + (5/3)² = 5²
MT₁² + 25/9 = 25
MT₁² + 25/9 = 25
MT₁² = (25*9 - 25)/9 = 200/9
MT₁ = 10√2/3 см
--- 2 ---
TM₁² + M₁P² = 6²
TM₁² + (M₁P+5)² = 9²
---
10*M₁P + 25 = 81 - 36
10*M₁P = 81 - 25 - 36 = 81 - 61 = 20
M₁P = 2 см
TM₁² + 2² = 6²
TM₁² + 4 = 36
TM₁² = 32
TM₁ = 4√2 см
--- 3 ---
ΔMPT₁ ~ ΔММ₁Н - один угол общий, второй прямой
НМ₁/РТ₁ = ММ₁/МТ₁
НМ₁/(5/3) = 7/(10√2/3)
НМ₁/5 = 7/(10√2)
НМ₁ = 5*7/(10√2) = 7/(2√2) см
--- 4 ---
ΔM₁PT ~ ΔТТ₁Н - один угол общий, второй прямой
НТ₁/РМ₁ = ТТ₁/ТМ₁
НТ₁/2 = (6+5/3)/(4√2)
НТ₁ = (18/3 + 5/3)/(2√2)
НТ₁ = 23/3/(2√2) = 23/(6√2) см
--- 5 ---
ΔРНМ₁ 
по теореме Пифагора найдём РН
РН² = НМ₁² + РМ₁² 
РН² = (7/(2√2))² + 2² 
РН² = 49/(4*2) + 4 
РН² = 49/8 + 32/8
РН² = 81/8
РН = 9/(2√2) см
--- 6 ---
Площадь ΔТТ₁М через катеты и через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*МТ₁*ТТ₁ = 1/2*МТ*Т₁Т₂
1/2*МТ₁*ТТ₁ = 1/2*МТ*Т₁Т₂
МТ₁*ТТ₁ = МТ*Т₁Т₂
МТ₁*ТТ₁ = МТ*Т₁Т₂
10√2/3*(6+5/3) = 9*Т₁Т₂
10√2/3*23/3 = 9*Т₁Т₂
Т₁Т₂ = 230√2/81 см--- 7 ---ΔТТ₁Т₂, по теореме Пифагора
Т₁Т₂² + ТТ₂² = Т₁Т²
(230√2/81)² + ТТ₂² = (23/3)²
ТТ₂² = 279841/81²
ТТ₂ = 529/81 см
--- 8 ---
Площадь ΔТМ₁М через катеты и через гипотенузу и высоту к ней
S = 1/2*ММ₁*ТМ₁ = 1/2*МТ*М₁М₂
1/2*ММ₁*ТМ₁ = 1/2*МТ*М₁М₂
ММ₁*ТМ₁ = МТ*М₁М₂
4√2*(5+2) = 9*М₁М₂
28√2 = 9*М₁М₂
М₁М₂ = 28√2/9 см--- 9 ---
ΔТМ₁М₂, по теореме Пифагора
М₁М₂² + ТМ₂² = М₁Т²
(28√2/9)² + ТМ₂² = (4√2)²
ТМ₂² = 16*2 - 784*2/81 = 1024/81
ТМ₂ = 32/9 см
--- 10 ---
Т₁К = Т₂М₂ = ТТ₂ - ТМ₂ = 529/81 - 32/9 = 241/81
Т₁К = 241/81 см
--- 11 ---
М₁К = М₂М₁ - Т₂Т₁ = 28√2/9 - 230√2/81 = √2/81*(28*9 - 230) = √2/81*(252 - 230) = 22√2/81 см
М₁К = 22√2/81 см
--- 12 --- 
из ΔКТ₁М₁ по теореме Пифагора
Т₁М₁² = Т₁К² + М₁К²
Т₁М₁² = (241/81)² + (22√2/81)²
Т₁М₁² = (241² + 22²*2)/81²
Т₁М₁² = (58081 + 484*2)/81²
Т₁М₁² = 59049/81²
Т₁М₁² = 9
Т₁М₁ = 3 см

1) Треугольник АВС – прямоугольный, значит биссектриса делит противоположную сторону АС на две части так, что АВ относится к ВС, как АD относится к DС.

Длины сторон АВ и ВС нам известны из условия задачи.

АВ : ВС = AD : DC;

АВ : ВС = 10 : 15.

Пусть одна часть равна х, тогда 10х + 15х = 20.

25х = 20;

х = 20 : 25;

х = 0,8.

Тогда АD = 0,8 * 10 = 8, а DС = 0,8 * 15 = 12.

ОТВЕТ:  АD = 8 см, а DС = 12 см.

2) Это задача, обратная предыдущей. Тут нам известны пропорции.

АД : ДС = 8 : 5.

16 : ВС = 8 : 5;

ВС = 16 * 5 : 8;

ВС = 80 : 8;

ВС = 10.

ОТВЕТ: ВС = 10.

Объяснение: