Спо дано: mp=pn ep=pe доказать: en||mf

МР=РN  EP=PF
∠EPN=∠MPF как вертикальные, значит Δ ЕРN равен ΔMPF по 1признаку
⇒ ∠ENP=∠EMF  ∠NEP=∠PFM то есть являются внутренними накрестлежащими при параллельных прямых NE и MF и секущих FE  и MN
значит NE ║  MF чтд

V = 24√2·π.

Объяснение:

Сечение конуса данной плоскостью имеет вид равнобедренного треугольника АSВ, высота которого SН = 6 см (дано) наклонена под углом 45° к плоскости основания конуса (дано). => Прямоугольный треугольник SОН равнобедренный и SО = ОН. По Пифагору: SH² = 2·SO² или 36 = 2·SO² => SО = ОН = 3√2 см.  

По теореме о трех перпендикулярах ОН перпендикулярна АВ => АН=НВ по свойству перпендикуляра к хорде из центра окружности. Треугольник АВО равнобедренный и ОН - высота, медиана и биссектриса угла АОВ = 60° (дано) => ∠AОН = 30°. => АО = 2·АН. По Пифагору А0² = АH²+OН² или З·АH² = OН² => З·АН² = 18, АН = √6, АО = 2√6 см. АО = R (радиус основания конуса). Тогда объем конуса равен V = (1/3)·Sо•Н или  

V = (1/3)·π·24·3√2 = 24√2·π.

Дано:
- треугольная пирамида,
- сторона основания а = 8 см,
- угол при вершине боковой грани α = 90°.

Рассмотрим боковую грань.
Это равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием а = 8 см и боковыми сторонами L. Острые углы равны 45 градусов.
Высота этого треугольника - апофема А.
Апофема А равна половине основания: А = 8/2 = 4 см.
Боковое ребро L = 4√2 см.
Проведём осевое сечение через боковое ребро.
Получим треугольник, высота Н которого равна высоте пирамиды.
Одна боковая сторона равна боковому ребру пирамиды, вторая - апофема.
Проекция апофемы на основания для правильной пирамиды равна (1/3) высоты h основания пирамиды.
h = a√3/2 = 8√3/2 = 4√3 см.
Теперь можно определить высоту пирамиды.
H = √(A² - (h/3)²) = √(16 - (48/9)) = √(96/9) = 4√6/3 см.