На одной стороне угла а отложены отрезки ab и ad а на другой - отрезки ac и ae подобны ли треугольники авс и ade если ab = 4 см ad = 20 см ac = 10 см ae= 8 см

ΔABC и ΔADE

∠A - общий  ⇒
ΔABC ~ ΔADE по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними

ответ: подобны

Ну тут всё просто. Пусть точкой пересечения AC и BD является O. Тогда:
1. Треугольники AOB и DOC равны по первому признаку:
а) AO = OC - по условию;
б) BO = OD - по условию;
в) ∠AOB = ∠DOC - как вертикальные углы.
2. Аналогично, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку (см. п. 1)
3. Из равенства ΔAOB = ΔDOC получаем, в частности, что AB = DC. Аналогично, из равенства ΔAOD = ΔBOC получаем, что AD = BC.

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку:
а) AB = DC - из равенства ΔAOB и ΔDOC;
б) AD = BC - из равенства ΔAOD и ΔBOC;
в) сторона AC - общая.

Медиана из вершины треголника делит противоположную сторону (основание) пополам. Высота из этого же угла перпендикулярна основанию. Треугольники, образовавшиеся при проведении высоты и медианы прямоугольные. У этих треугольников катеты образованные высотой и медианой равны. Катеты образованные делением основания медианой то же равны. Если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны. А значит боковые стороны исходного треугольника равны. Исходный треугольник равнобедренный.