1)периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 48 см. найдите сторону правильного шестиугольника , вписанного в ту же окружность. 2)найдите радиус кольца если площадь кольца ограниченного двумя окружностями с общим центром равна 45п(pi) а второй радиус 3м 3)найдите радиус окружности если дуги 4п(pi) а градусная мера равна 180 желательно расписывать решение

1) Р=48 см
а- сторона квадрата =Р/4=48/4=12 см
d-диагональ квадрата
r -описанной окружности равен половине диагонали квадрата
d²=(a²+a²)=(144+144)=288
d=12√2, тогда r=12√2/2=6√2
Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне, значит сторона шестиугольника =6√2

2) S=45π площадь кольца, R-внешний радиус, r-внутренний радиус
r-3 м внутренний радиус (если бы был внешний ,то общая площадь окружности была бы 9π, что не соответствует условию задачи)
S(площадь кольца)=π(R²-r²)
π(R²-r²)=45π
R²-9=45
R=√54=3√6 м

3) длина дуги 4π , соответствует углу 180 градусов, значит полная длина окружности L=360/180*4π=8π
L/2r=π
r=L/2π=8π/2π=4

Сделаем рисунок к задаче.

Обозначим вершины параллеограмма привычными буквами АВСD.

Проведем биссектрисы углов В и С, которые пересекутся на АD в точке М.

Биссектрисы образовали со сторонами параллелограмма треугольники, причем

∠ СВМ= ∠ АМВ  по свойству углов при пересечении параллельных прямых и секущей, а

∠ АВМ= ∠МВС -  как половины угла В.

То же самое с углами ВСМ и СМD.

Раз углы при основании ВМ  Δ АВМ и основании СМ Δ СМD равны,

оба этих треугольника - равнобедренные.

В треугольнике АВМ сторона АВ равна стороне АМ,
В треугольнике МDС сторона МD равна стороне СD.

Но АВСD- параллелограмм, и стороны АВ и CD равны по определению.

Следовательно, АМ=MD и АD=2АВ ( или 2 CD, что одно и то же)

Р АВСD= 2( АВ+АD) Подставим в значение периметра 2 АВ вместо AD.
Р АВСD= 2( АВ+2АВ)
30= 6 АВ
АВ=5 см
Ответ: Длина короткой стороны параллелограмма равна 5 см

радиус  окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. по теореме Пифагора гипотенуза равна  корень из 12^2+5^2=13, R=1/2*13=6.5

чтобы найти радиус вписанной окружности воспользуемся формулойS=1/2*P*r,

P=12+5+13=30, S=1/2*12*5=30, 1/2*30*r=30, r=2*30/30=2

проведём радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам треугольника. Точки касания делят каждую сторону треугольника на две части. Пусть одна часть гипотенузы х, тогда другая часть 13-х, по свойствам отрезков касательных отрезки одного катета 13-х и 12-(13-х)=х-1, х-1=2, так как около прямого угла образуется квадрат. х=3, гипотенуза разделилась на отрезки з и 13-3=10

 

 

расстояние от центра вписанной окружности до наименьшего угла равно  корень из10^2+2^2= корень из104=2 корень из26

2) в 4хугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма боковых сторон равна сумме оснований 1+9=10. Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то каждая будет 10:2=5

проведём две высоты. Они разделили трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Большее основание разделится на отрезки длиной 1 и  (9-1):2=4 тогда из прямоугольного треугольника h= корень из5^2-4^2=3, r=h:2=3:2=1.5 диагональ трапеции найдём по теореме косинусов d= корень из 5^2+1^2-2*5*1*cosa косинус острого угла равен 4/5, тогда cos a=-4/5, d= корень из25+1+10*4/5= корень из34

3) угол C=180-(59+26)=95градусов. Биссектриса CK делит угол С на углы по 47градусов 30минут По теореме синусов 8,2/sin26=AK/sin47 30 AK=8.2*0.7373/0.4384=13.79, 

8.2/sin59=KB/sin47 30, KB=8.2*0.7373/0.8572=7.05, AB= 7.05+13.79=20.84

по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла рано удвоенному радиусу 8,2/sin26=2R, 2R=18.7, R=18.7:2=9.35, S=1/2*AB*BC*sinB,

BC/sin26=AB/sin95, BC=AB*sin26/sin95=20.84*0.4384/0.9962=9.17, S=1/2*20.84*9.17*0.8572=81.91