Впрямоугольном треугольнике abc, биссектриса ad делит кате bc на отрезки cd=4 см и db=5 см.найдите площадь треугольника.

1) ВС=СД+ДВ=4 см+5 см=9 см, тогда по свойству биссектрисы, АС:АВ=СД:ВД
АС:АВ=4 см:5 см
АС:АВ=4:5, значит, пусть к см - коэффициент пропорциональности, поэтому длина АС - 4к см, а длина АВ - 5к см, и рассмотрим треугольник АСВ (угол С=90°):
АВ^2=АС^2+ВС^2
25к^2=16к^2+81
9к^2=81
к^2=9
к=3 Итак, 1 ч.=3 см
2) АС=4к=4*3 см=12 см
S∆ACB=AC*BC/2=12 см*9 см/2=6 см*9 см=54 см^2
ответ: 54 см^2

∆АВС ;<АСВ=90°;АД биссектриса .;
ДС=4см;ДВ=5см;
S(ABC)=?
по свойству биссектрисы
АС/АВ=СД/ДВ=4/5
АС=4/5АВ
ВС=СД+ДВ=4+5=9
∆АВС по теорема Пифагора
АВ^2=АС^2+СВ^2
АВ^2=(16/25)*АВ^2+81
81=(1-16/25)*АВ^2
81=(9/25)*АВ^2
АВ^2=81:(9/25)=81*(25/9)=9*25
АВ=15
АС=4/5*(АВ)=4/5*15=12
S(ABC)=AC*CB/2=12*9/2=54(см квадрат)

Пусть М - любая точка плоскости. Пусть каждое из расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника меньше 2, тогда
АМ+ВМ+СМ+DМ<2+2+2+2=8 (*)- сумма расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника,

по неравенству треугольника имеем
AM+BM>AB
AM+DM>AD
BM+CM<BC
CM+DM>CD
сложив получим что
2(AM+BM+CM+DM)>AB+BC+CD+AD
откуда учитывая (*)
получаем AB+BC+CD+AD<8

аналогично
AB+AD>BD
BC+CD>BD
AB+BC>AC
AD+CD>AC
или сложив
2(AB+BC+CD+AD)>2*(BD+AC)
AC+BC+CD+AD>BD+AC
получается что
8>AC+BC+CD+AD>BD+AC=8 противоречие/ Откуда получаем что уловие задачи истинно

Трапеция АВСД, АВ=СД, уголА=уголД, уголВ=уголС, ВК -высота на АД=5=СТ на АД, АС диагональ, МН-средняя линия, О - пересечение МН и АС, МО=4, ОН=9, Треугольник АВС, МО-средняя линия треугольника=1/2ВС, ВС=2*МО=4*2=8, треугольник АСД, ОН-средняя линия треугольника=1/2АД, АД=2*ОН=2*9=18, Треугольник АВК=треугольник ТСД по гипотенузе и острому углу, АК=ТД, КВСТ-прямоугольник ВС=КТ=8, АК=ТД=(АД-КТ)/2=(18-8)/2=5, треугольник АВК прямоугольный, ВН=АК=5, треугольник равнобедренный, уголА=уголАВК=90/2=45=уголД, уголВ=уголС=180-45=135