Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 11 см и 16 см. найдите проекции данных наклонных, если одна из проекций на 9см меньше другой. с рисунком, на котором все расписанно

ответ:     3 см,  12 см.

Объяснение:

АВ = 11 см   и   АС = 16 см  - наклонные к прямой а,

АН - перпендикуляр к прямой а, тогда

ВН и СН - проекции соответствующих наклонных.

Большей наклонной соответствует большая проекция.

Пусть ВН = х см, тогда СН = (х + 9) см.

Из прямоугольного треугольника АВН по теореме Пифагора выразим АН:

АН² = АВ² - ВН²

АН² = 11² - x² = 121 - x²

И выразим АН по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСН:

AH² = AC² - CH²

AH² = 16² - (x + 9)² = 256 - (x² + 18x + 81) =

= 256 - x² - 18x - 81 = 175 - x²- 18х

Приравняем правые части получившихся равенств:

121 - x² = 175 - x²- 18х

18x = 54

x = 3

ВН = 3 см

СН = 3 + 9 = 12 см

Точки Т и Р лежат на стороне ВС, значит четырехугольник АТРД трапеция, углы при основании равны, значит равнобедренная. Радиус вписанной в него окружности равен корень из 3, следовательно высота трапеции равна 2 корня из 3. Обозначим высоту из точки Т ТК. В треугольнике АТК угол А 60 градусов. синус 60 градусов равен отношению ТК к АТ. АТ = 2 корня из 3 делим на синус 60 градусов. Получаем АТ=6, АК = 3, как катет , лежащий против угла в 30 градусов. Трапеция равнобедренная, то высота, проведенная из точки Р, отсекает такой же отрезок от точки Д. Далее, раз в трапецию можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований. Получаем 3+3+2ТР= 12   ТР=3, АД= 9

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные двум другим сторонам, т.е.:
и  
Пусть EB = x, BD = y. Получим 2 уравнения:

EB = 16; BD = 18, тогда
АВ = 20 + 16 = 36
ВС = 30 + 18 = 48
Заметим, как относятся стороны треугольника АВС:
АВ : ВС : АС = 60 : 48 : 36 = 5 : 4 : 3 - египетский треугольник, т.е. ΔАВС - прямоугольный с прямым углом В.
Тогда ΔЕВD - так же прямоугольный, его катеты равны 16 и 18, найдем гипотенузу ED:

Площадь прямоугольного ΔЕВD:
S = EB * BD /2 = 16*18/2 = 144
Полупериметр ΔЕВD:
p = (EB + BD + ED)/2 = (16+18+2√145)/2 = (34 + 2√145)/2 = 17 + √145
радиус вписанной окружности:
r = S / p = 144/(17+√145) = 17-√145