Какую часть площади круга составляет площадь сектора дуга равна : а) 60° ; б) 30° ; в) 120° ; г) 90°

 Площадь полного круга занимает все его 360°.

Для ответа на заданный вопрос нужно найти, какую часть от целого круга составляет сектор с центральным углом, равный данным дугам. Такова же будет и часть площади, которую этот сектор занимает в круге. 

Чтобы вычислить, какую часть  целого числа составляет другое число, нужно представить ответ в виде правильной дроби. Записываем искомую величину над дробной чертой, как числитель а целое - под ней ( знаменатель). Желательно по возможности ( и для наглядности) сократить дробь (то есть разделить числитель и знаменатель на общий множитель. 

а)

Какую часть от целого круга составляют оставшиеся три сектора и сектор с любой градусной мерой центрального угла, Вы без труда найдете самостоятельно. 

Углы данной величины чаще всего встречаются в задачах по геометрии, и их доля от общего круга запоминается наизусть.  

Пусть есть треугольник с катетами AB и BC.

Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.

Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны  2 и -2.

По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:

AB - 2 + BC - 2 = 13  или AB + BC=17.

За теоремой Пифагора 13² = AB² + BC².

Возведём в квадрат равенство AB + BC = 17:

AB² + 2AB*BC + BC² = 289.    Заменим AB² +BC² = 169.

2AB*BC = 289 - 169 = 120, AB*BC = 120/2 = 60.

Из выражения AB+ BC = 17 выразим BC = 17 - AB и подставим в  AB*BC = 60.

Получим: AB(17 -AB) = 60   или 17*AB -AB² = 60.

Получили квадратное уравнение AB² - 17AB + 60 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно AB.

 Ищем дискриминант:

D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;

AB1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;

AB2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.

ответ: катеты равны 5 и 12.

Дан прямоугольный треугольник с катетами "а" и "в".
Радиус "R" его описанной окружности равен 6,5, а радиус "r" вписанной окружности равен 2.

Если радиус описанной окружности равен 6,5, то гипотенуза равна 2*6,5 = 13.
Отрезки катетов до точки касания вписанной окружности равны а - 2 и в - 2.
По свойству касательных гипотенуза равна сумме этих отрезков:
а - 2 + в - 2 = 13  или а + в = 17.
По Пифагору 13² = а² + в².
Возведём в квадрат равенство а + в = 17:
а² + 2ав + в² = 289.    Заменим а² + в² = 169.
2ав = 289 - 169 = 120,
ав = 120/2 = 60.
Из выражения а + в = 17 выразим в = 17 - а и подставим в  ав = 60.
Подучим: а(17 - а) = 60   или 17а - а² = 60.
Получили квадратное уравнение а² - 17а + 60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно a: Ищем дискриминант:
D=(-17)^2-4*1*60=289-4*60=289-240=49;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
a_1=(√49-(-17))/(2*1)=(7-(-17))/2=(7+17)/2=24/2=12;a_2=(-√49-(-17))/(2*1)=(-7-(-17))/2=(-7+17)/2=10/2=5.
Полученные результаты и есть размеры катетов.

ответ: катеты равны 5 и 12.