Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки 5 см и 13 см. найдите периметр треугольника.

1) CD = 13 см
DE = r = 5 см

DG = DE = DF = 5 см – как радиусы вписанной окружности

Рассмотрим ∆ CDF (угол CFD = 90°):
По теореме Пифагора:
CD² = DF² + CF²
CF² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
CF = 12 см

2) Рассмотрим ∆ CBE (угол СЕВ = 90°):
По теореме касательных к окружности, проведённых из одной точки
BD – биссектриса угла ABC

По свойству биссектрисы:
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам →

CD/ DE = CB/ BE = 13 / 5

Пусть FB = BE = x , как отрезки кательных к окружности, проведённых из одной точки →

CB / BE = 13 / 5

( 12 + x ) / x = 13 / 5

13x = 5 × ( 12 + x )
13x = 60 + 5x
13x – 5x = 60
8x = 60
x = 60/8 = 7,5 см

Значит, FB = BE = 7,5 см

По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки →

CG = CF = 12 см
GA = AE = 7,5 см

P abc = AC + CB + AB = 12 + 7,5 + 12 + 7,5 + 7,5 + 7,5 = 24 + 30 = 54 см

ОТВЕТ: P abc = 54 см.

 В треугольнике АВС угол С=80°. Найдите градусную меру угла АОВ, если О -точка пересечения биссектрис внешних углов треугольника при вершинах А и В.

Ответ: 50°

Объяснение: Сумма  внешних углов многоугольника, взятых по одному у каждой вершины,  равна 360°.

 Внешний угол при С равен 180°-80°=100°. На сумму внешних углов при А и В приходится 360°-100°=260°.  

Тогда в треугольнике АОВ сумма углов при вершинах А и В равна половине суммы внешних углов при А и В треугольника АВС,  Т.е. ∠ОАВ+∠ОВА=260°:2=130°

Из суммы углов треугольника угол АОВ=180°-130°=50°

1. Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле - 180°*(n-2) = 180°*(22-2) = 180°*20 = 3600°.

ответ: 3600°.

2. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой проведена эта высота. 25 см*8 см = 200 см^2.

ответ: 200 см^2.

3. Площадь трапеции равна произведению его высоты на полусумму оснований (по совместительству, длина средней линии равна полусумме оснований трапеции). 8 см*15 см = 120 см^2.

ответ: 120 см^2.

4. Сумма углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле - 180°*(n-2) = 180°*(5-2) = 180°*3 = 540°.

ответ: 540°.

5. Вторая сторона прямоугольника равна 3 см (так как прямоугольный треугольник со сторонами 5 (см) и 4 (см) - египетский). 3 см*4 см = 12 см^2.

ответ: 12 см^2.

6. Если опустим на основание высоту (которая также является биссектрисой и медианой), она поделит основание на отрезки по 8 см каждые. Высота равна 6 см (опять же, заглянем в прямоугольный треугольник со сторонами 8 (см) и 10 (см) - египетский, поэтому, второй катет равен 6 см). Площадь каждого треугольника = 6 см*8 см/2 = 24 см^2, площадь всего равнобедренного треугольника = 24 см^2*2 = 48 cм^2.

ответ: 48 см^2.

7. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. 4 см*8 см = 32 см^2.

ответ: 32 см^2.

8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 5 см*10 см/2 = 25 см^2.

ответ: 25 см^2.

9. Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой проведена эта высота. 6 см*8 см = 48 см^2.

ответ: 48 см^2.

10. Площадь трапеции равна произведению его высоты на полусумму оснований. Полусумма оснований - 16 см/2 = 8 см. 48 см^2 = 8 cм*h (высота) ⇒ h = 6 cм.

ответ: 6 см.