На клетчатой бумаге изобразите центры окружностей, проходящие через две данные точки и находящиеся в узлах сетки (рис. 18.9)

Согласно теореме:  Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.

Отрезок, соединяющий данные точки, для любой окружности, проходящей через них, - хорда. =>

Центры окружностей, проходящих черед две данные точки,  будут лежать на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего данные точки и перпендикулярной ему. 

Таких окружностей может быть множество.  

11. Треугольник ACK равнобедренный, AK -- основание, CM -- высота.

∠CAK = ∠CKA = 70°: треугольник равнобедренный, прилежащие к основанию углы равны.

∠ACK = 180° – (70° + 70°) = 40°: в любом треугольнике сумма углов равна 180°.

∠ACM = ∠KCM = 40° / 2 = 20°: в равнобедренном треугольнике проведенная к основанию высота является биссектрисой.

12. Треугольник BDC равнобедренный, BC -- основание, DK -- медиана.

∠BDK = ∠CDK = 15°, ∠BDC = 15° + 15° = 30°, ∠DKB = ∠DKC = 90°: в равнобедренном треугольнике проведенная к основанию медиана является биссектрисой и высотой.

∠DBC = ∠DCB = (180° – 30°) / 2 = 75°: в равнобедренном треугольнике прилежащие к основанию углы равны между собой, а сумма всех углов любого треугольника равна 180°.

Дано: (СА; γ)=(СВ; γ)=α; АСВ=β

Найти: sin(ABC; γ)

Решение: Чтобы найти угол между двумя плоскостями, нужно провести в каждой плоскости перпендикуляр к линии пересечения этих плоскостей, угол между этим перпендикулярами и будет углом между плоскостями.

Проведем СН перпендикулярно плоскости γ и СМ - биссектрису угла АСВ. Так как углы наклона СА и СВ к плоскости γ равны, то СА=СВ, следовательно треугольник АСВ равнобедренный и СМ является также медианой и высотой. Аналогично, проекции равных отрезков на плоскость γ равны между собой НА=НВ, а НМ является биссектрисой, медианой и высотой в равнобедренном треугольнике АНВ.

Распишем искомый синус угла:

Чтобы найти СН сделаем планиметрическую картинку треугольника АСН и запишем синус известного угла CAH:

Чтобы найти СМ аналогично изобразим картинку треугольника АСВ. Так как СМ - биссектриса, то угол АСМ равен (β/2). Рассмотрим треугольник АСМ:

Подставляем найденные величины в формулу для синуса искомого угла:

Объяснение:

Всё.