Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 18 см, а угол между боковой гранью и основанием равен 60˚. найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

По заданным значениям апофемы А = 18 см и углу наклона боковой грани 
α = 60 ° находим:
 - высота Н = А*sinα = 18*(√3/2) = 9√3 ≈  15,588457 см,
 - радиус окружности. вписанной в основание r = A*cosα = 18*(1/2) = 9 см.
Отсюда определяем сторону а основания, равную радиусу описанной окружности.
а = r/(cos30°) = 9/(√3/2) = 18/√3 = 6√3 ≈  10,392305 см.
Периметр равен: Р = 6а = 6*(6√3) = 36√3 ≈  62,353829 см.
Теперь можно определить площадь Sбок боковой поверхности:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(36√3)*18 = 324√3 ≈  561,18446 см².

Дана наклонная призма АВСА₁В₁С₁.
Треугольник АВС - прямоугольный равнобедренный, АВ=ВС=7.
Плоскость  (АСС₁А₁) перпендикулярна плоскости АВС.

Проведём А₁К перпендикулярно АС, СМ параллельно А₁К,
СМ перпендикуляр к АС и ВС перпендикуляр к АС, значит угол МСВ- линейный угол двугоранного угла между плоскостями АСС₁А и АВС.
Угол МСВ=90⁰
,
АС перпендикуляр к ВС, АК- проекция АА₁ , по теореме о трех перпендикулярах АА₁ перпендикуляр к ВС.
Значит и СС₁ перпендикуляр в ВС. Четырехугольник ВВ₁С₁С- прямоугольник. Его площадь равна 56. Катет ВС=7, значит боковые ребра призмы 8
7*8=56
Из прямоугольного треугольника АА₁К зная угол А₁АК=45⁰ ( по условию) найдем высоту А₁К=4√2

V=S·H=1/2 АС·ВС·А₁К=1/2·7·7·4√2=98√2 кв ед.

ABC -- нижнее основание, A1B1C1 -- верхнее основание, D -- проекция точки C1 на плоскость основания ABC, C1D -- высота призмы, C1CD=45°
AA1C1C и BB1C1C -- ромбы с острым углом 30°, AA1B1B -- квадрат
Из треугольника C1DC:
sin C1CD = C1D/C1C
sin(45°)=4*корень(2) / C1C
С1С=4*корень(2)/sin(45°)=4*корень(2)/(корень(2)/2)=4*2=8
Так как все боковые грани -- ромбы (квадрат -- это тоже ромб), то длины всех рёбер призмы равны между собой, следовательно, они равны 8.
Площадь боковой поверхности равна сумме площадей ромбов и квадрата.
Sромба=AC*AA1*sin(30°)=8*8*1/2=32
Sквадрата=AB*AA1=8*8=64
Sбок=2*Sромба+Sквадрата=2*32+64=128