Выберите верные утверждения. 1) если прямая перпендикулярна двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 2) через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит бесконечно много прямых, перпендикулярных данной прямой. 3) если в пространстве одна из двух параллельных прямых пересекается с третьей прямой, то и другая прямая пересекается с этой прямой. 4) для любых двух данных прямых найдётся третья прямая, которая скрещивается с каждой из данных прямых.

1) НЕ ВЕРНО! Так как прямая, пересекающая плоскость и перпендикулярна этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
2) НЕ ВЕРНО! Так как через точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести одну прямую, перпендикулярную данной прямой (это и есть расстояние от этой точки до данной прямой).
3) ВЕРНО!
4) ВЕРНО!

Сделать чертёж. Разделить сторону ВС на 4 части. Обозначить на расстоянии 1 от точки В точку N. Тогда BN=1, NC=3. Провести прямую MN согласно условию. Параллельно ей провести из точки А прямую , которая пересечёт сторону ВС в точке Р.
Рассмотреть треугольник MNC. Отрезок АР в нём - средняя линия, следовательно, точка Р делит сторону NC пополам.
Но NC=3, значит, NP=1,5.
Таким образом, BN относится к NP как 1:1,5 или как 2:3. Поскольку MN и АР параллельны (по построению), то таким же будет и соотношение отсекаемых ими отрезков на стороне АВ.
ответ: 2:3

В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найти объём пирамиды.

===========================================================

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС:  Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1  ⇒  СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН:  sin60° = CH/AC  ⇒  AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО:  tgα = MO/CO  ⇒  MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27