Точки а(3; -6; 2) и а₁ симметричны относительно координатной оси уоz. найдите площадь треугольника aa₁o.

Координатная ось это Ox,Oy,Oz, YOZ - это координатная плоскость 
Если она симметрична относительно плоскости , тогда  A1(-3,-6,2) 
Получаем треугольник со сторонами  A1O=AO=√(3^2+6^2+2^2)=7 , и  A1A = √(-3-3)^2 = 6 , откуда S(AA1O) = √(p(p-a)^2(p-c)) (Герона) p=10, a=7, c=6 
  S(AA1O) = √(10*9*4) = 6*√(10)

Дано: А(3; -6; 2), А1; O(0; 0; 0)
Найти: S - ?
Решение:
1) Точки А(3; -6; 2) и А₁ симметричны относительно координатной оси уОz, значит, у точки А₁ должны поменяться координаты только у 
=>  А₁(-3;-6; 2)

2) Найдём координаты векторов (от координатов конца вычесть координаты начала):
 А₁О (3; 6; -2), АО (-3; 6; -2); А₁А(6; 0; 0)

3) Найдём длины векторов (корень квадратный из суммы квадратов координатов):
|А₁О| = √9+36+4 = √49 = 7
|АО| = √9+36+4 = √49 = 7
|А₁А| = √36+0+0 = √36 = 6

4) Найдём площадь треугольника по формуле Герона:
    а) Найдём полупериметр: 
p = (А₁О + АО + А₁А) : 2 = (7 + 7 + 6) : 2 = 10
    б) Найдём площадь: 
S = √p·(p - А₁О)·(p - AO)·(p - А₁А)
S = √10 · (10 - 7) · (10 - 7) · (10 - 6) = √10 · 3 · 3 · 4 = 6√10

ОТВЕТ: S = 6√10

Решается очень просто, просто нужно немножко подумать.Постараюсь объяснить!
из точки В к основанию АД опускаешь высоту, получается высота ВК.
из точки С опускаешь высоту к основанию АД, получается высота СМ.
ВСМК-прямоугольник, значит ВС=КМ=4. Из АД-КМ=18-4=14
АК=МД=14/2=7
В прямоугольном треугольнике, против угла 30 градусов, лежит катет равный половине гипотенузы.
В треугольнике АВК угол А 60 градусов(по условию), угол К 90 градусов(ВК высота), значит угол В=180-(90+60)=30
Катет АК лежит против угла В, то есть против угла 30 градусов, отсюда следует: АВ=2хАК=2х7=14

Полупериметр АВ+ВС=42/2=21
пусть АВ=х
тогда ВС=21-х
ΔАВС - прямоугольный
по теореме Пифагора:
х²+(21-х)²=(√221)²
х²+(441-42х+х²)=221
х²+441-42х+х²-221=0
2х²-42х-220=0
х²-21х-110=0
Д=(-21)²-4*1*(-110)=441-440=1
х1=(21+1)/2=22/2=11
х2=(21-1)/2=20/2=10
если АВ=10, то ВС=21-10=11
если АВ=11, то ВС=21-11=10
⇒ в любом случае одна сторона 10, другая 11
пусть АВ=10, а ВС=11
проведем высоту ВН
есть формула: высота, опущенная на гипотенузу равна произведению катетов , деленному на гипотенузу   т.е.
ВН=(АВ*ВС)/АС=(10*11)/√221=110/√221
рассмотрим ΔАВС
его площадь S(АВС)=(ВН*АС)/2=((110/√221)*√221)/2=110/2=55
ΔАВС=ΔАСД
⇒ S(АВСД)=S(АВС)+S(АСД)=55+55=110