Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 13см, а один із катетів 12см. знайти площу трикутника.

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Отрезки KM, MN, KN являются средними линиями в треугольниках AOB, BOC, AOC.

a) KM||AB, MN||BC, KN||AC

KMN~ABC по трем параллельным сторонам

б) KM=AB/2, MN=BC/2, KN=AC/2

P(ABC) =2P(KMN) =44*2 =88 (см)

в) Отношение соответствующих отрезков (медиан, биссектрис, высот и любых отрезков, построенных сходным образом) в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия.

k=AB/KM =2

Медианы ABC вдвое больше медиан KMN.

Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания пирамиды 45 градусов.

Найти: а)высоту пирамиды, б)площадь боковой поверхности пирамиды

Объяснение:

Пусть АВСМР-правильная 4-угольная пирамида , с основанием АВСМ, РА=8 см .

В правильной пирамиде  вершина проецируется в центр основания ( т.О), т.е в точку пересечения диагоналей.Тогда углом между между боковым ребром и и плоскостью основания (АВС) будет ∠РАО=45°.

а) ΔАРО-прямоугольный, sin45°=РО/АР, √2/2=РО/8  ,РО=4√2 см.

И отрезок АО=4√2 см, т.к ΔАРО-равнобедренный ( ∠АРО=90°-∠РАО=90°-45°=45°).

б) S(бок.)=1/2Р(осн)*a, где а-апофема.

ΔАОМ-прямоугольный и АО=ОМ, по свойству диагоналей квадрата.

Значит по т. Пифагора АМ=√( (4√2)²+(4√2)²)=8 (см), АМ=АВ=ВС=СМ=8см.

Пусть ОН⊥АМ, тогда ОН=1/2АВ=4 см.

ΔОНР-прямоугольный , по т. Пифагора НР=√( РО²+ОН²)=√(16*2+16)=√16*3=4√3 (см).  Значит а=4√3 см.

S(бок.)=1/2(4*8)*4√3=64√3 (см²)