Построить прямоугольный треугольник, если катет равен 5 см, а прилежащий к нему угол 40°

1) Строим прямой угол 90, обозначим вершину С.
2) на одном из катетов этого угла от вершины прямого угла С отложим отрезок длиной 5 см. Обозначим его ВС=5 см.
3) ОТ ВС отложим угол величиной 40°. Сторона этого угла пересечет катет прямого угла в точке А. 
Полученный ΔАВС будет искомым.

Задачка настолько мне понравилась, что я решил добавить решение. Кстати, возможно, тут что-то не так :
Пусть стороны грани с площадью 6 равны a, b, c
и пусть три остальных ребра равны x, y, z,
Я обозначу (неизвестный) периметр всех граней P.
Тогда
a + b + c = P
x + y + a = P
x + z + b = P
y + z + c = P
Если сложить последние три равенства, то получится
2(x + y + z) + (a + b + c) = 3P
или
x + y + z = P :);
откуда сразу следует, что z = a; y = b; x = c; получилось, что ребра, лежащие на скрещенных прямых, равны.
То есть все грани имеют равные стороны, и, соответственно, равную площадь. Все четыре грани тетраэдра - одинаковые треугольники.
Ну, теперь, если очень напрячься, можно сосчитать максимальную, минимальную и даже среднюю статистическую : площадь полной поверхности тетраэдра.
6х4 = 24

Ваш первый вопрос:
------------------
Как доказать что медианы двух треугольников которые вписаны в произвольный шестиугольник пересекаются в одной точке?
------------------
и ответ - никак.
Медианы треугольников, построенных на сторонах шестиугольника НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ в одной точке.
Если рассматривать треугольники, просто вписанные в шестиугольник, с рёбрами, не совпадающими с рёбрами шестиугольника, то всё ещё хуже для пересечения медиан.
------------------------------------------------------
Ваш второй вопрос:
Как доказать что медианы двух треугольников, вершины которых совпадают с серединами сторона произвольного шестиугольника пересекаются в одной точке?
------------------
и снова - никак. медианы разных треугольников не пересекаются в одной точке
-----------------------------------------------------
Теперь ваш третий вопрос, на случай, если вам снова захочется изменить условие задачи.
Есть точки вершин шестиугольника A₁..A₆
Есть точки середин рёбер шестиугольника B₁..B₆
На них построены два треугольника. B₁B₃B₅ и B₂B₄B₆
Точки пересечения медиан треугольников P и Q
Доказать, что P = Q
Воспользуемся координатым методом.
Координаты центра пересечения медиан первого треугольника
P = 1/3(B₁+B₃+B₅)
Для второго треугольника
Q = 1/3(B₂+B₄+B₆)
Координаты середин сторон шестиугольника
B₁ = 1/2(A₁+A₂)
B₂ = 1/2(A₂+A₃)
B₃ = 1/2(A₃+A₄)
B₄ = 1/2(A₄+A₅)
B₅ = 1/2(A₅+A₆)
B₆ = 1/2(A₆+A₁)
И координаты P и Q, выраженные через вершины шестиугольника
P = 1/3(1/2(A₁+A₂)+1/2(A₃+A₄)+1/2(A₅+A₆)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Q = 1/3(1/2(A₂+A₃)+1/2(A₄+A₅)+1/2(A₆+A₁)) = 1/6(A₁+A₂+A₃+A₄+A₅+A₆)
Готово :)
P = Q